9. Determine para quais valores reais do parâmetro ???? a equação |???? – 10| + |???? – 90| = ????: a) admite um número finito de soluções. b) admite infin...

Para resolver a equação |x – 10| + |x – 90| = k, podemos dividir em casos, dependendo do valor de k: 1. Se k < 80, então a equação se torna (x - 10) + (90 - x) = k, que simplifica para x = (k - 80)/2. Como x deve ser maior ou igual a 10, a solução só existe se (k - 80)/2 >= 10, ou seja, k >= 100. Portanto, para k < 80, não há solução. 2. Se 80 <= k <= 100, então a equação se torna (x - 10) + (x - 90) = k, que simplifica para x = (k + 80)/2 ou x = (k - 80)/2. Como x deve estar entre 10 e 90, a solução só existe se 10 <= (k + 80)/2 <= 90 e 10 <= (k - 80)/2 <= 90. Isso nos dá 20 <= k <= 100. Portanto, para 80 <= k <= 100, há infinitas soluções. 3. Se k > 100, então a equação se torna (x - 10) + (x - 90) = k, que simplifica para x = (k + 80)/2. Como x deve ser menor ou igual a 90, a solução só existe se (k + 80)/2 <= 90, ou seja, k <= 20. Portanto, para k > 100, não há solução. Portanto, a resposta é a alternativa (B) admite infinitas soluções para 80 <= k <= 100.