Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0,π ] e arctg denota a função inversa da função tangent...

a) Como arccos é a função inversa do cosseno restrita ao intervalo [0,π], temos que arccos(cos(5π)) = arccos(-1) = π. b) Como arctg é a função inversa da tangente restrita ao intervalo (-π/2,π/2), temos que arctg(-1) = -π/4. Então, sen(arctg(-1)) = sen(-π/4) = -√2/2. c) Vamos começar usando a identidade trigonométrica cos²θ + sen²θ = 1. Como arccos é a função inversa do cosseno restrita ao intervalo [0,π], temos que cos(arccos(x)) = x para todo x pertencente ao intervalo [-1,1]. Então, cos²(arccos(x)) + sen²(arccos(x)) = 1. Como cos²(arccos(x)) = x², temos que sen²(arccos(x)) = 1 - x². Substituindo na expressão dada, temos: -2sen(arccos(x)) = -2√(1-x²) Multiplicando por x, temos: -2xsen(arccos(x)) = -2x√(1-x²) Substituindo na expressão dada, temos: -2sen(arccos(x)) + x = -2√(1-x²) + x Multiplicando por -1, temos: 2sen(arccos(x)) - x = 2√(1-x²) - x Usando a identidade trigonométrica sen(π/2 - θ) = cos(θ), temos que sen(arccos(x)) = √(1-x²). Substituindo na expressão dada, temos: 2√(1-x²) - x = 2√(1-x²) - x Portanto, a expressão é verdadeira para todo x pertencente ao intervalo [-1,1].