34. (Uff) Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0,π ] e arctg denota a função inversa da fun...

a) Calcule arccos(cos(5π)) Como 5π está fora do intervalo [0,π], precisamos encontrar um ângulo no intervalo que tenha o mesmo cosseno. Como o cosseno é uma função periódica com período 2π, podemos subtrair 2π até que o ângulo esteja no intervalo [0,π]: cos(5π) = cos(5π - 2π) = cos(3π) Agora, como 3π está fora do intervalo [0,π], podemos subtrair π: cos(3π) = cos(3π - π) = cos(2π) Finalmente, como 2π está no intervalo [0,π], temos: cos(2π) = 1 Portanto, arccos(cos(5π)) = arccos(1) = 0. b) Calcule sen(arctg(-1/2)) Primeiro, precisamos encontrar o ângulo cuja tangente é -1/2. Podemos fazer isso usando a definição de tangente: tan(θ) = -1/2 θ está no segundo ou no quarto quadrante, então podemos usar a definição de arctangente restrita ao intervalo (-π/2,π/2): θ = arctg(-1/2) + kπ, onde k é um número inteiro. Agora, precisamos encontrar o seno desse ângulo. Podemos usar a relação fundamental da trigonometria: sen²(θ) + cos²(θ) = 1 Como a tangente é -1/2, podemos usar a relação entre seno e cosseno: sen(θ) = -1/√5 Substituindo θ, temos: sen(arctg(-1/2) + kπ) = -1/√5 Para encontrar o valor de k, podemos usar o fato de que o arctangente é negativo no segundo quadrante: arctg(-1/2) < 0 Portanto, k deve ser ímpar para que a soma arctg(-1/2) + kπ esteja no segundo quadrante. O menor valor ímpar possível é k = -1. Substituindo k, temos: sen(arctg(-1/2) - π) = -1/√5 Finalmente, podemos usar a relação entre tangente e seno: tg(θ) = sen(θ)/cos(θ) tg(arcsen(3)) = sen(arcsen(3))/cos(arcsen(3)) Como o seno de um ângulo é sempre menor ou igual a 1, sabemos que arcsen(3) está fora do intervalo (-π/2,π/2). Portanto, precisamos encontrar o cosseno desse ângulo usando a relação fundamental da trigonometria: sen²(arcsen(3)) + cos²(arcsen(3)) = 1 Como o seno de arcsen(3) é 3/2, temos: 9/4 + cos²(arcsen(3)) = 1 cos²(arcsen(3)) = 7/4 cos(arcsen(3)) = √(7/4) = √7/2 Substituindo na equação original, temos: tg(arcsen(3)) = 3/√7 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 3/2.