(Fuvest 2000) Determine os números reais x e y, com 0 ≤ x + y ≤  e 0 ≤ y ≤ , tais que:               1 sen x sen y 4 3 cos x y ...

Podemos começar resolvendo a segunda equação: sen(x) + sen(y) - 4cos(x)y/3 = 1 Podemos reescrevê-la como: sen(x) + sen(y) = 4cos(x)y/3 + 1 Em seguida, podemos elevar ambos os lados ao quadrado: sen²(x) + 2sen(x)sen(y) + sen²(y) = 16cos²(x)y²/9 + 8cos(x)y/3 + 1 Podemos usar a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 para substituir cos²(x) por 1 - sen²(x): sen²(x) + 2sen(x)sen(y) + sen²(y) = 16(1 - sen²(x))y²/9 + 8cos(x)y/3 + 1 Podemos simplificar a equação: 25sen²(x) + 25sen²(y) - 24sen(x)sen(y) = 16y² + 24cos(x)y + 9 Agora, podemos usar a primeira equação para substituir sen(x) por 1 - cos(x) e sen(y) por cos(y): 25(1 - cos²(x)) + 25cos²(y) - 24(1 - cos(x))cos(y) = 16y² + 24cos(x)y + 9 Simplificando a equação, temos: -9cos(x)cos(y) + 24cos(x)y + 25cos²(x) - 16y² + 25cos²(y) = 16 Podemos reescrever a primeira equação como: cos(x) + cos(y) = 1/2 Podemos usar a identidade trigonométrica cos²(x) + sen²(x) = 1 para substituir cos²(x) por 1 - sen²(x): 1 - sen²(x) + 1 - sen²(y) = 1 Simplificando a equação, temos: sen²(x) + sen²(y) = 1 Podemos usar essa equação para substituir sen²(x) por 1 - cos²(x) e sen²(y) por 1 - cos²(y): 1 - cos²(x) + 1 - cos²(y) = 1 Simplificando a equação, temos: cos²(x) + cos²(y) = 1 Agora, podemos usar as equações cos(x) + cos(y) = 1/2 e cos²(x) + cos²(y) = 1 para resolver o sistema de equações. Podemos isolar cos(y) na primeira equação: cos(y) = 1/2 - cos(x) Podemos substituir essa equação na segunda equação: cos²(x) + (1/2 - cos(x))² = 1 Simplificando a equação, temos: 5cos²(x) - 2cos(x) - 3/4 = 0 Podemos resolver essa equação usando a fórmula quadrática: cos(x) = (2 ± √14)/5 Substituindo esses valores de cos(x) na equação cos(y) = 1/2 - cos(x), temos: cos(y) = (1 ± √14)/5 Agora, podemos usar as equações x + y ≤ π e 0 ≤ y ≤ π para determinar quais valores de x e y satisfazem as condições do problema. Como 0 ≤ y ≤ π, temos: 0 ≤ y ≤ π Substituindo os valores de cos(y), temos: -0,5878 ≤ cos(y) ≤ 0,5878 Usando a equação cos(x) + cos(y) = 1/2, podemos determinar os valores de cos(x) que satisfazem a condição: cos(x) + cos(y) = 1/2 Substituindo os valores de cos(y), temos: cos(x) + (1 ± √14)/5 = 1/2 Subtraindo (1 ± √14)/5 de ambos os lados, temos: cos(x) = 1/2 - (1 ± √14)/5 Resolvendo para cos(x), temos: cos(x) = (2 ± √14)/5 Substituindo esses valores de cos(x) na equação x + y ≤ π, temos: x + y ≤ π Substituindo os valores de cos(x) e cos(y), temos: (2 ± √14)/5 + (1 ± √14)/5 ≤ π Simplificando a equação, temos: 3 ± 2√14 ≤ 5π/5 Resolvendo para os valores de x e y, temos: x = arccos((2 + √14)/5) ou x = arccos((2 - √14)/5) y = arccos((1 + √14)/5) ou y = arccos((1 - √14)/5) Portanto, as soluções para o sistema de equações são: (x, y) = (arccos((2 + √14)/5), arccos((1 + √14)/5)), (arccos((2 - √14)/5), arccos((1 - √14)/5))