54. (Unicamp) Sabendo que k é um número real, considere a função f(x) k sen x cos x,  definida para todo número real x. a) Seja t um número ...

a) Para mostrar que f(2t) = 1, podemos usar a identidade trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x). Substituindo x por t, temos: f(2t) = ksen(2t)cos(2t) + 1 f(2t) = k(2sen(t)cos(t))cos(2t) + 1 f(2t) = 2k(sen(t)cos(t)cos(2t)) + 1 f(2t) = k(sen(2t) + 1) + 1 f(2t) = k(2sen(t)cos(t) + 1) + 1 f(2t) = 2k(sen(t)cos(t)) + k + 1 Como f(t) = ksen(t)cos(t) + 1 = 0, temos que: ksen(t)cos(t) = -1 Substituindo na expressão de f(2t), temos: f(2t) = 2k(sen(t)cos(t)) + k + 1 f(2t) = -2k + k + 1 f(2t) = -k + 1 f(2t) = 1 - k Portanto, f(2t) = 1. b) Para k = 3, a equação 2f(x)^2 - f(x) + 10 = 0 pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara: a = 2, b = -1, c = 10 Δ = b^2 - 4ac Δ = (-1)^2 - 4(2)(10) Δ = 1 - 80 Δ = -79 Como Δ < 0, a equação não tem soluções reais.