57. Resolva os seguintes sistemas de equações: a) senxseny tgxtgy      3 4 3 b) sen x seny cos x cos y      3 3 1 2 1 2 c)...

a) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: tg(x) = sen(x)/cos(x). Substituindo na primeira equação, temos: sen(x) * sen(y) * sen(x)/cos(x) * tg(y) = 3/4 Multiplicando ambos os lados por cos(x) * cos(y), temos: sen(x) * sen(y) * sen(x) * sen(y) = 3/4 * cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(x) = 1 - cos²(x), temos: (1 - cos²(x)) * sen(y) * sen(x) * sen(y) = 3/4 * cos(x) * cos(y) Desenvolvendo a equação, temos: sen²(y) * (1 - cos²(x)) = 3/4 * cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: cos²(x) = 1 - sen²(x), temos: sen²(y) * sen²(x) = 3/4 * cos(x) * cos(y) * (1 - sen²(x)) Desenvolvendo a equação, temos: sen²(y) * sen²(x) = 3/4 * cos(x) * cos(y) - 3/4 * cos(x) * cos(y) * sen²(x) Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(x) = 1 - cos²(x), temos: sen²(y) * (1 - cos²(x)) = 3/4 * cos(x) * cos(y) - 3/4 * cos(x) * cos(y) * (1 - cos²(x)) Desenvolvendo a equação, temos: sen²(y) * cos²(x) = 3/4 * cos(x) * cos(y) * cos²(x) Dividindo ambos os lados por cos²(x), temos: sen²(y) = 3/4 * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: cos²(y) = 1 - sen²(y), temos: cos²(y) = 1 - 3/4 * cos(y) Multiplicando ambos os lados por 4, temos: 4 * cos²(y) = 4 - 3 * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: tg²(y) = 1/cos²(y) - 1, temos: 4 * (1/tg²(y) - 1) = 4 - 3 * cos(y) Desenvolvendo a equação, temos: 4/tg²(y) - 4 = 4 - 3 * cos(y) Simplificando, temos: 4/tg²(y) = 3 * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: tg(y) = sen(y)/cos(y), temos: 4 * cos(y)/sen²(y) = 3 * cos(y) Dividindo ambos os lados por cos(y), temos: 4/sen²(y) = 3 Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(y) + cos²(y) = 1, temos: sen²(y) = 1 - cos²(y) Substituindo na equação anterior, temos: 4 - 4 * cos²(y) = 3 Simplificando, temos: cos²(y) = 1/4 Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(y) = 1 - cos²(y), temos: sen²(y) = 3/4 Portanto, temos: cos(y) = ±1/2 e sen(y) = ±√3/2 Substituindo na equação sen(x) * sen(y) * sen(x)/cos(x) * tg(y) = 3/4, temos: sen(x) * sen(y) * sen(x)/cos(x) * tg(y) = 3/4 sen(x) * ±√3/2 * sen(x)/cos(x) * ±√3/2 = 3/4 sen²(x) = 3/4 Portanto, temos: sen(x) = ±√3/2 e cos(x) = ±1/2 Assim, as soluções do sistema de equações são: (x, y) = (π/6 + kπ, π/3 + lπ), (5π/6 + kπ, 2π/3 + lπ), (7π/6 + kπ, 4π/3 + lπ), (11π/6 + kπ, 5π/3 + lπ), onde k e l são inteiros. b) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1. Substituindo na primeira equação, temos: sen(x) * sen(y) * cos(x) * cos(y) = 3/4 Dividindo ambos os lados por sen(x) * cos(x) * sen(y) * cos(y), temos: tg(x) * tg(y) = 3/4 Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x) = sen(x)/cos(x) e tg(y) = sen(y)/cos(y), temos: sen(x) * sen(y) = 3/4 * cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: sen(x) = 2 * tg(x) / (1 + tg²(x)) e sen(y) = 2 * tg(y) / (1 + tg²(y)), temos: 2 * tg(x) / (1 + tg²(x)) * 2 * tg(y) / (1 + tg²(y)) = 3/4 * cos(x) * cos(y) Desenvolvendo a equação, temos: 4 * tg(x) * tg(y) / (1 + tg²(x)) * (1 + tg²(y)) = 3/4 * cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: 1 + tg²(x) = 1/cos²(x) e 1 + tg²(y) = 1/cos²(y), temos: 4 * tg(x) * tg(y) * cos²(x) * cos²(y) = 3/4 * cos(x) * cos(y) Dividindo ambos os lados por cos(x) * cos(y), temos: 4 * tg(x) * tg(y) * cos(x) * cos(y) = 3/4 Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x) * tg(y) = sen(x) * sen(y) / (cos(x) * cos(y)), temos: 4 * sen(x) * sen(y) = 3/4 Portanto, temos: sen(x) * sen(y) = 3/16 Substituindo a identidade trigonométrica: sen(x) = 2 * tg(x) / (1 + tg²(x)) e sen(y) = 2 * tg(y) / (1 + tg²(y)), temos: 2 * tg(x) / (1 + tg²(x)) * 2 * tg(y) / (1 + tg²(y)) = 3/16 Desenvolvendo a equação, temos: 4 * tg(x) * tg(y) / (1 + tg²(x)) * (1 + tg²(y)) = 3/16 Substituindo a identidade trigonométrica: 1 + tg²(x) = 1/cos²(x) e 1 + tg²(y) = 1/cos²(y), temos: 4 * tg(x) * tg(y) * cos²(x) * cos²(y) = 3/16 Dividindo ambos os lados por cos²(x) * cos²(y), temos: 4 * tg(x) * tg(y) = 3/16 Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x) * tg(y) = sen(x) * sen(y) / (cos(x) * cos(y)), temos: 4 * sen(x) * sen(y) / (cos(x) * cos(y)) = 3/16 Substituindo a identidade trigonométrica: sen(x) * sen(y) = 3/16, temos: 3/4 = 3/16 O que é uma contradição. Portanto, o sistema de equações não tem solução. c) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: tg(x) = sen(x)/cos(x). Substituindo na primeira equação, temos: x + y + z = tg(x) * tg(z) + tg(y) * tg(z) Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x) = sen(x)/cos(x) e tg(z) = sen(z)/cos(z), temos: x + y + z = sen(x) * sen(z) / (cos(x) * cos(z)) + sen(y) * sen(z) / (cos(y) * cos(z)) Multiplicando ambos os lados por cos(x) * cos(y) * cos(z), temos: x * cos(y) * cos(z) + y * cos(x) * cos(z) + z * cos(x) * cos(y) = sen(x) * sen(z) * cos(y) + sen(y) * sen(z) * cos(x) Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(x) = 1 - cos²(x), temos: x * cos(y) * cos(z) + y * cos(x) * cos(z) + z * cos(x) * cos(y) = √(1 - cos²(x)) * √(1 - cos²(z)) * cos(y) + √(1 - cos²(y)) * √(1 - cos²(z)) * cos(x) Desenvolvendo a equação, temos: x * cos(y) * cos(z) + y * cos(x) * cos(z) + z * cos(x) * cos(y) = cos(x) * cos(y) * cos(z) * √(1 - cos²(x)) * √(1 - cos²(z)) / cos(z) + cos(x) * cos(y) * cos(z) * √(1 - cos²(y)) * √(1 - cos²(z)) / cos(z) Simplificando, temos: x * cos(y) * cos(z) + y * cos(x) * cos(z) + z * cos(x) * cos(y) = cos(x) * cos(y) * √(1 - cos²(x)) * √(1 - cos²(z)) + cos(x) * cos(y) * √(1 - cos²(y)) * √(1 - cos²(z)) Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: x * cos(y) * cos(z) + y * cos(x) * cos(z) + z * cos(x) * cos(y) = cos(x) * cos(y) * sen(x) * sen(z) + cos(x) * cos(y) * sen(y) * sen(z) Dividindo ambos os lados por cos(x) * cos(y) * cos(z), temos: x/cos(x) + y/cos(y) + z/cos(z) = sen(x) * sen(z) / (cos(x) * cos(z)) + sen(y) * sen(z) / (cos(y) * cos(z)) Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x) = sen(x)/cos(x) e tg(z) = sen(z)/cos(z), temos: x/cos(x) + y/cos(y) + z/cos(z) = tg(x) * tg(z) + tg(y) * tg(z) Portanto, as soluções do sistema de equações são: (x, y, z) = (kπ, lπ, mπ), onde k, l e m são inteiros. d) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x). Substituindo na primeira equação, temos: sen(x) * cos(x) * cos(y) = 1/2 Multiplicando ambos os lados por 2, temos: sen(x) * cos(x) * cos(y) * 2 = 1 Substituindo a identidade trigonométrica: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x), temos: sen(2x) * cos(y) = 1 Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(2x) + cos²(2x) = 1, temos: sen²(2x) = 1 - cos²(2x) Substituindo a identidade trigonométrica: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) e cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), temos: 4 * sen²(x) * cos²(x) = cos²(x) - sen²(x) Desenvolvendo a equação, temos: 4 * sen²(x) * cos²(x) + sen²(x) = cos²(x) Simplificando, temos: 4 * sen²(x) * cos²(x) + sen²(x) - cos²(x) = 0 Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: 4 * sen²(x) * (1 - sen²(x)) + sen²(x) - (1 - sen²(x)) = 0 Desenvolvendo a equação, temos: 4 * sen²(x) - 4 * sen⁴(x) + sen²(x) - 1 + sen²(x) = 0 Simplificando, temos: 5 * sen²(x) - 4 * sen⁴(x) - 1 = 0 Substituindo a identidade trigonométrica: cos²(x) = 1 - sen²(x), temos: 5 * (1 - cos²(x)) - 4 * (1 - cos²(x))² - 1 = 0 Desenvolvendo a equação, temos: -15 * cos⁴(x) + 24 * cos²(x) - 8 = 0 Substituindo a identidade trigonométrica: cos²(x) = 1 - sen²(x), temos: -15 * (1 - sen²(x))² + 24 * (1 - sen²(x)) - 8 = 0 Desenvolvendo a equação, temos: -15 * sen⁴(x) + 6 * sen²(x) - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: sen²(x) = (1 ± √5)/6 Substituindo na equação sen(x) * cos(x) * cos(y) = 1/2, temos: cos(y) = 2/(sen(x) * cos(x)) Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: cos(y) = 2/tg(x) Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x) = sen(x)/cos(x), temos: cos(y) = 2 * cos(x)/sen(x) Portanto, as soluções do sistema de equações são: (x, y) = (arcsen(√((1 ± √5)/6)) + kπ, arccos(2 * cos(arcsen(√((1 ± √5)/6)))) + lπ), onde k e l são inteiros. e) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1. Substituindo na primeira equação, temos: x² + y² = 2 Substituindo na segunda equação, temos: y² + z² = 2 Substituindo na terceira equação, temos: x² + y² + z² = 2 * (x + y + z) Substituindo as duas primeiras equações na terceira equação, temos: 2 + z² = 2 * (x + y + z) Simplificando, temos: z² - 2 * z + 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: z = 1 ± i Substituindo na segunda equação, temos: y² + (1 ± i)² = 2 Simplificando, temos: y² = 1 Portanto, temos: y = ±1 e z = 1 ± i Substituindo na primeira equação, temos: x² + 1 = 2 Portanto, temos: x = ±√1 Assim, as soluções do sistema de equações são: (x, y, z) = (1, 1, 1 + i), (1, -1, 1 - i), (-1, 1, 1 - i), (-1, -1, 1 + i). f) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1. Substituindo na primeira equação, temos: x² - y² = 2 Substituindo na segunda equação, temos: x² + y² = 4 Somando as duas equações, temos: 2x² = 6 Portanto, temos: x² = 3 Substituindo na primeira equação, temos: 3 - y² = 2 Portanto, temos: y² = 1 Assim, as soluções do sistema de equações são: (x, y) = (√3, 1), (-√3, 1), (√3, -1), (-√3, -1). g) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1. Substituindo na primeira equação, temos: x - y + y - x = arcsen(x) + arcsen(y) - π Simplificando, temos: 0 = arcsen(x) + arcsen(y) - π Substituindo a identidade trigonométrica: sen(π - x) = sen(x) e sen(π - y) = sen(y), temos: arcsen(sen(π - x)) + arcsen(sen(π - y)) - π = 0 Substituindo a identidade trigonométrica: arcsen(sen(x)) = x - kπ, onde k é um inteiro, temos: (π - x - kπ) + (π - y - lπ) - π = 0 Simplificando, temos: x + y = (k + l - 1)π Substituindo a identidade trigonométrica: cos(π/2 - x) = sen(x) e cos(π/2 - y) = sen(y), temos: x + y = (k + l - 1)π/2 Substituindo a identidade trigonométrica: sen(x + y) = sen(x) * cos(y) + cos(x) * sen(y), temos: sen(x + y) = sen(x) * sen(π/2 - y) + cos(x) * sen(π/2 - x) Substituindo a identidade trigonométrica: sen(π/2 - x) = cos(x) e sen(π/2 - y) = cos(y), temos: sen(x + y) = sen(x) * cos(y) + cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1, temos: sen(x + y) = 2 * cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: cos(2x) = 2 * cos²(x) - 1, temos: sen(x + y) = cos(2x) + cos(2y) Substituindo a identidade trigonométrica: cos(2x) + cos(2y) = 2 * cos(x + y) * cos(x - y), temos: sen(x + y) = 2 * cos(x + y) * cos(x - y) Dividindo ambos os lados por cos(x + y), temos: tg(x + y) = 2 * cos(x - y) Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x + y) = (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x) * tg(y)), temos: (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x) * tg(y)) = 2 * cos(x - y) Substituindo a identidade trigonométrica: cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sen(x) * sen(y), temos: (tg(x) + tg(y)) / (1 - tg(x) * tg(y)) = 2 * (cos(x) * cos(y) + sen(x) * sen(y)) Multiplicando ambos os lados por (1 - tg(x) * tg(y)), temos: tg(x) + tg(y) = 2 * (cos(x) * cos(y) + sen(x) * sen(y)) * (1 - tg(x) * tg(y)) Desenvolvendo a equação, temos: tg(x) + tg(y) = 2 * cos(x) * cos(y) + 2 * sen(x) * sen(y) - 2 * tg(x) * tg(y) * (cos(x) * cos(y) + sen(x) * sen(y)) Simplificando, temos: tg(x) + tg(y) = 2 * cos(x) * cos(y) + 2 * sen(x) * sen(y) - 2 * tg(x) * tg(y) * cos(x) * cos(y) - 2 * tg(x) * tg(y) * sen(x) * sen(y) Substituindo a identidade trigonométrica: tg(x) = sen(x)/cos(x) e tg(y) = sen(y)/cos(y), temos: sen(x)/cos(x) + sen(y)/cos(y) = 2 * cos(x) * cos(y) + 2 * sen(x) * sen(y) - 2 * sen(x) * sen(y) * cos(x) * cos(y) - 2 * sen(x) * sen(y) * sen(x) * sen(y) / (cos(x) * cos(y)) Multiplicando ambos os lados por cos(x) * cos(y), temos: sen(x) * cos(y) + sen(y) * cos(x) = 2 * cos²(x) * cos(y) + 2 * cos(x) * cos²(y) + 2 * sen(x) * sen(y) * sen(x) * sen(y) - 2 * sen(x) * sen(y) * cos(x) * cos(y) Simplificando, temos: sen(x + y) = sen(2x) * sen(2y) Substituindo a identidade trigonométrica: sen(2x) = 2 * sen(x) * cos(x) e sen(2y) = 2 * sen(y) * cos(y), temos: sen(x + y) = 4 * sen(x) * sen(y) * cos(x) * cos(y) Substituindo a identidade trigonométrica: sen(x + y) = sen(x) * cos(y) + cos(x) * sen(y), temos: sen(x) * cos(y) + cos(x) * sen(y) = 4 * sen(x) * sen(y) * cos(x) * cos(y) Dividindo ambos os lados por sen(x) * sen(y) * cos(x) * cos(y), temos: tg(x) + tg(y) = 4 Portanto, as soluções do sistema de equações são: (x, y) = (kπ, lπ), onde k e l são inteiros. h) Para resolver o sistema de equações, podemos utilizar a identidade trigonométrica: sen²(x) + cos²(x) = 1. Substituindo na primeira equação, temos: x + y - y = 2 Simplificando, temos: x = 2 Substituindo na segunda equação, temos: 2 + y² - y = 3 Simplificando, temos: y² - y - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: y = (1 ± √5)/2 Portanto, as soluções do sistema de equações são: (x, y) = (2, (1 + √5)/2), (2, (1 - √5)/2).