9. (Fac. Albert Einstein - 2017) Um patrão tem 6 tarefas diferentes para serem distribuídas entre 3 empregados. Ele pode delegar todas elas a um só...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio da Adição e da Multiplicação. Primeiro, vamos calcular o número de maneiras de distribuir as tarefas sem restrição alguma. Para cada uma das 6 tarefas, o patrão tem 3 opções de empregados para delegá-la. Portanto, o número total de maneiras de distribuir as tarefas é: 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 3^6 = 729 No entanto, essa contagem inclui casos em que uma ou mais tarefas são delegadas a um único empregado. Para calcular o número de maneiras em que pelo menos duas tarefas são delegadas a um único empregado, podemos utilizar o Princípio da Inclusão-Exclusão. Existem 3 maneiras de escolher um empregado para receber duas tarefas, e 6 maneiras de escolher as duas tarefas que ele irá receber. Para cada uma dessas escolhas, o patrão tem 2 opções de empregados para delegar as outras 4 tarefas. Portanto, o número de maneiras em que um empregado recebe duas tarefas é: 3 x 6 x 2^4 = 288 No entanto, essa contagem inclui casos em que um empregado recebe três tarefas. Existem 3 maneiras de escolher um empregado para receber três tarefas, e apenas uma maneira de escolher as três tarefas que ele irá receber. Para cada uma dessas escolhas, o patrão tem apenas uma opção de empregado para delegar a tarefa restante. Portanto, o número de maneiras em que um empregado recebe três tarefas é: 3 x 1 x 1 = 3 Assim, o número de maneiras em que pelo menos duas tarefas são delegadas a um único empregado é 288 - 3 = 285. No entanto, essa contagem exclui casos em que um empregado não recebe nenhuma tarefa. Existem 3 maneiras de escolher um empregado para ficar sem tarefas. Para cada uma dessas escolhas, o patrão tem 5 opções de empregados para delegar cada uma das 6 tarefas. Portanto, o número de maneiras em que um empregado fica sem tarefas é: 3 x 5^6 = 1875 Assim, o número de maneiras em que pelo menos um empregado fica sem tarefas é 1875 - 285 = 1590. Finalmente, o número de maneiras em que cada empregado recebe pelo menos uma tarefa é: 729 - 1590 = 639 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 639.