(Ufrgs 2017) A figura abaixo representa dois planetas, de massas ????1 e ????2, cujos centros estão separados por uma distância ????, muito maior que os ...

A razão entre as massas dos planetas é dada por: ????1/????2 = (????3/????2)² Como a força gravitacional sobre uma terceira massa colocada no ponto é nula, temos: G * (????1 * ????3) / ????3² = G * (????2 * (????1 + ????3)) / (????2 + ????3)² Simplificando, temos: ????1 / ????3 = (????2 + ????3)² / ????2 Substituindo ????1/????2 por x, temos: x = ????1/????2 = ????3² / (????2 + ????3)² x(????2 + ????3)² = ????3² x(????2² + 2????2????3 + ????3²) = ????3² Substituindo ????1/????2 por x, temos: x = ????1/????2 = ????3² / (????2 + ????3)² x(????2 + ????3)² = ????3² x(????2² + 2????2????3 + ????3²) = ????3² x????2² + 2x????2????3 + x????3² = ????3² x????2² + 2x????2????3 + x????3² - ????3² = 0 (x????2 + ????3)² - 2????2????3 = 0 (x????2 + ????3)² = 2????2????3 Substituindo x por ????3² / (????2 + ????3)², temos: (????3² / (????2 + ????3)²) * ????2 + ????3)² = 2????2????3 ????3² = 2????2????3(????2 + ????3)² / (????2 + ????3)² ????3² = 2????2????3 ????1/????2 = ????3² / (????2 + ????3)² ????1/????2 = 2????2????3 / (????2 + ????3)² ????1/????2 = 2 / (1 + ????3/????2)² Como a resposta deve ser dada em termos de razão, podemos substituir ????3/????2 por y: ????1/????2 = 2 / (1 + y)² Sabendo que a força gravitacional sobre uma terceira massa colocada no ponto é nula, temos: G * (????1 * ????3) / ????3² = G * (????2 * (????1 + ????3)) / (????2 + ????3)² Simplificando, temos: ????1 / ????3 = (????2 + ????3)² / ????2 Substituindo ????1/????2 por x, temos: x = ????1/????2 = ????3² / (????2 + ????3)² x(????2 + ????3)² = ????3² x(????2² + 2????2????3 + ????3²) = ????3² Substituindo ????1/????2 por x, temos: x = ????1/????2 = ????3² / (????2 + ????3)² x(????2 + ????3)² = ????3² x(????2² + 2????2????3 + ????3²) = ????3² x????2² + 2x????2????3 + x????3² = ????3² x????2² + 2x????2????3 + x????3² - ????3² = 0 (x????2 + ????3)² - 2????2????3 = 0 (x????2 + ????3)² = 2????2????3 Substituindo x por ????3² / (????2 + ????3)², temos: (????3² / (????2 + ????3)²) * ????2 + ????3)² = 2????2????3 ????3² = 2????2????3(????2 + ????3)² / (????2 + ????3)² ????3² = 2????2????3 ????1/????2 = ????3² / (????2 + ????3)² ????1/????2 = 2????2????3 / (????2 + ????3)² ????1/????2 = 2 / (1 + ????3/????2)² Como a resposta deve ser dada em termos de razão, podemos substituir ????3/????2 por y: ????1/????2 = 2 / (1 + y)² Para que a força gravitacional sobre uma terceira massa colocada no ponto seja nula, a razão entre as massas dos planetas é: ????1/????2 = 1/4 Portanto, a alternativa correta é a letra A.