12. Em uma P.A. de cinco termos, a soma de seus termos é igual 30 e a soma do 1º termo com o 3º termo é igual 18. Determine os termos desta P.A.

Para resolver esse problema, podemos utilizar as fórmulas da soma dos termos de uma P.A. e da soma dos termos consecutivos de uma P.A. Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A. Temos que: Soma dos termos da P.A. de cinco termos: S5 = (a1 + a5) * 5 / 2 Soma do 1º termo com o 3º termo: a1 + a3 = 2a1 + 2r Sabemos que a soma dos termos é igual a 30, então: S5 = 30 (a1 + a5) * 5 / 2 = 30 a1 + a5 = 12 Também sabemos que a soma do 1º termo com o 3º termo é igual a 18, então: a1 + a3 = 18 2a1 + 2r = 18 a1 + r = 9 Agora podemos montar um sistema de equações com as duas informações que temos: a1 + a5 = 12 a1 + r = 9 Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos: a5 - r = 3 Como a5 = a1 + 4r (porque a5 é o quinto termo da P.A.), podemos substituir na equação acima: a1 + 4r - r = 3 a1 + 3r = 3 Agora podemos substituir a1 + r = 9 na equação acima: 9 + 2r = 3 2r = -6 r = -3 Substituindo r na equação a1 + r = 9, temos: a1 - 3 = 9 a1 = 12 Portanto, os termos da P.A. são: a1 = 12 a2 = 9 a3 = 6 a4 = 3 a5 = 0 Verificando a soma dos termos, temos: S5 = (a1 + a5) * 5 / 2 = (12 + 0) * 5 / 2 = 30 E a soma do 1º termo com o 3º termo: a1 + a3 = 12 + 6 = 18 Que confirma as informações do enunciado.