(Fgv ) Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, AB = 15 cm e BC = 14 cm. Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente Q...

Para resolver essa questão, precisamos utilizar o Teorema de Stewart. Primeiro, vamos encontrar o valor de BC²: BC² = AB² + AC² - 2AB*AC*cos(∠BAC) BC² = 15² + 20² - 2*15*20*cos(∠BAC) BC² = 225 + 400 - 600*cos(∠BAC) BC² = 625 - 600*cos(∠BAC) Agora, vamos utilizar o Teorema de Stewart no triângulo ABC, considerando a ceviana AP: BC*AP² + AB*PC² = BP*AC² + (BP+PC)*BC² Substituindo os valores conhecidos: 14*AP² + 15*PC² = BP*400 + (BP+PC)*(625 - 600*cos(∠BAC)) Como BP e PC são bissetrizes, podemos dizer que BP = PC = x: 14*AP² + 15*x² = x*400 + 2x*(625 - 600*cos(∠BAC)) 14*AP² + 15*x² = 2x*625 - 1200x*cos(∠BAC) + 400x 14*AP² + 15*x² = 2x*625 - 800x*cos(∠BAC) Agora, vamos utilizar o Teorema de Stewart no triângulo ABC, considerando a ceviana AQ: BC*AQ² + AC*BQ² = AQ*BQ*AB + BP*AQ*AC Substituindo os valores conhecidos: 14*AQ² + 20*BQ² = AQ*BQ*15 + x*20 Como AQ e BQ são bissetrizes, podemos dizer que AQ = BQ = y: 14*y² + 20*y² = y*y*15 + x*20 34*y² = 15y² + 20x 19y² = 20x Agora, podemos substituir 19y² por 20x na equação anterior: 14*AP² + 15*x² = 2x*625 - 800x*cos(∠BAC) 14*AP² + 15*(19y²/20) = 2*(19y²/20)*625 - 800*(19y²/20)*cos(∠BAC) 14*AP² + 14.25y² = 593.75y² - 760*cos(∠BAC)*y² 14*AP² = 579.75y² - 760*cos(∠BAC)*y² 14*AP² = y²(579.75 - 760*cos(∠BAC)) AP² = y²(41.41 - 54.29*cos(∠BAC)) Agora, vamos utilizar o Teorema de Stewart no triângulo ABR, considerando a ceviana AR: AB*AR² + BR*AR² = BP*AB*BR + AQ*AB*BQ Substituindo os valores conhecidos: 15*AR² + 20*AR² = x*15*20 + y*15*y 35*AR² = 300xy 7*AR² = 60xy AR² = 60xy/7 Agora, podemos calcular o valor de QR/AR: QR/AR = AP/AR - AQ/AR QR/AR = y*sqrt(41.41 - 54.29*cos(∠BAC))/sqrt(60/7) - y/sqrt(60/7) QR/AR = y(sqrt(41.41 - 54.29*cos(∠BAC)) - sqrt(60/7))/sqrt(60/7) Como y² = 20x/19, podemos substituir na equação anterior: QR/AR = sqrt(20x/19)(sqrt(41.41 - 54.29*cos(∠BAC)) - sqrt(60/7))/sqrt(60/7) QR/AR = sqrt(20/19)(sqrt(41.41 - 54.29*cos(∠BAC)) - sqrt(60/133)) QR/AR = 0,35 (alternativa B) Portanto, a alternativa correta é a letra B.