16. (Ita 2019) Seja ???? a circunferência de equação ????2 + ????2 = 4. Se ???? e ???? são duas retas que se interceptam no ponto ???? = (1,  3) e são tangent...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1. Encontrar as equações das retas que são tangentes à circunferência e passam pelo ponto (1, 3). 2. Encontrar os pontos de tangência das retas com a circunferência. 3. Calcular o produto escalar entre os vetores diretores das retas. 4. Calcular o módulo dos vetores diretores das retas. 5. Aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores. Resolvendo passo a passo: 1. As equações das retas que são tangentes à circunferência e passam pelo ponto (1, 3) são dadas por: y = mx + (3 - m) e y = nx + (3 - n) onde m e n são as inclinações das retas. 2. Os pontos de tangência das retas com a circunferência são obtidos resolvendo o sistema formado pelas equações da circunferência e das retas. Encontramos que os pontos de tangência são (2/5, 14/5) e (5/4, 23/4). 3. O produto escalar entre os vetores diretores das retas é dado por: m * n = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (y4 - y3)/(x4 - x3) Substituindo os valores, temos: m * n = (14/5 - 3)/(2/5 - 1) * (23/4 - 3)/(5/4 - 1) m * n = -11/2 * 5/3 m * n = -55/6 4. O módulo dos vetores diretores das retas é dado por: |v1| = √(1 + m^2) e |v2| = √(1 + n^2) Substituindo os valores, temos: |v1| = √(1 + m^2) = √(1 + (14/5 - 3)^2/(2/5 - 1)^2) = √(1 + 121/25) = √(146)/5 |v2| = √(1 + n^2) = √(1 + (23/4 - 3)^2/(5/4 - 1)^2) = √(1 + 400/9) = √(409)/3 5. Aplicando a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores, temos: cos(θ) = (m * n)/(|v1| * |v2|) Substituindo os valores, temos: cos(θ) = (-55/6)/(√(146)/5 * √(409)/3) cos(θ) = -55/(√(146) * √(409)) cos(θ) = -55/(2√(7307)) cos(θ) = -2√(18267)/7307 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 2√6/5.