5.(ITA 2017) Um triângulo retângulo com hipotenusa ???? = 2(1 + √6) está circunscrito a um círculo de raio unitário. Determine a área total da superf...

Para encontrar a área total da superfície do cone obtido ao girar o triângulo em torno do seu maior cateto, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar as medidas dos outros dois lados do triângulo retângulo. Sabemos que a hipotenusa é igual a 2(1 + √6), então podemos escrever: a² + b² = c² a² + b² = (2(1 + √6))² a² + b² = 8(1 + √6) Como o triângulo é retângulo, um dos lados é a altura do cone e o outro é o raio da base do cone. Podemos escolher o maior cateto como a altura, então: a = 2 b = √(8(1 + √6) - 4) b = 2√(2 + √6) A área da base do cone é dada por πr², onde r é o raio da base. Como o raio é igual ao menor cateto do triângulo, temos: r = 2 área da base = π(2)² = 4π A área lateral do cone é dada por πrL, onde L é o comprimento da geratriz. Podemos encontrar L usando o Teorema de Pitágoras novamente: L² = a² + b² L² = 2² + (2√(2 + √6))² L² = 4 + 8(2 + √6) L² = 36 + 8√6 L = √(36 + 8√6) Então, a área lateral do cone é: área lateral = π(2)(√(36 + 8√6)) = 2π(√(36 + 8√6)) A área total da superfície do cone é a soma da área da base e da área lateral: área total = área da base + área lateral área total = 4π + 2π(√(36 + 8√6)) área total = 4π + 2π√(36 + 8√6) Portanto, a área total da superfície do cone é 4π + 2π√(36 + 8√6).