11. (Unicamp 2017) Sabendo que ???? e ???? são números reais, considere o polinômio cúbico ????(????) = ????3 + ????????2 + ???????? + 1. a) Mostre que, se ???? é uma...

a) Para mostrar que 1/α é uma raiz do polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + 1, basta substituir x por 1/α e verificar que p(1/α) = 0. Temos: p(1/α) = (1/α)³ + a(1/α)² + b(1/α) + 1 p(1/α) = 1/α³ + a/α² + b/α + 1 Multiplicando ambos os lados por α³, temos: p(1/α)α³ = 1 + aα + bα² + α³ p(1/α)α³ = α³ + aα + bα² + 1 Como α é uma raiz de p(x), temos p(α) = 0, ou seja: α³ + aα² + bα + 1 = 0 Substituindo α por 1/α, temos: (1/α)³ + a(1/α)² + b(1/α) + 1 = 0 1 + a/α + b/α² + 1/α³ = 0 a/α + b/α² + 1/α³ = -1 Multiplicando ambos os lados por α³, temos: aα² + bα + 1 = -α³ Substituindo α³ por -aα² - bα - 1, temos: 1/α³ + a/α² + b/α + 1 = 0 p(1/α) = 0 Portanto, 1/α é uma raiz do polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + 1. b) Se a sequência (α-1, α, α+1) é uma progressão aritmética de razão r, então temos: α - (α - 1) = r α + 1 - α = r Simplificando, temos: r = 1 r = -1 Se r = 1, então temos: α - (α - 1) = 1 α + 1 - α = 1 Simplificando, temos: α = 1 α = -2 Se r = -1, então temos: α - (α - 1) = -1 α + 1 - α = -1 Simplificando, temos: α = 0 Portanto, os valores de α e β são 1 e -2, respectivamente, para r = 1, e α é igual a 0 para r = -1.