(Unicamp 2017) Sabendo que ???? é um número real, considere a função ????(????) = ????   ????????????   ???? + ????????????   ????, definida para todo número real ????. a) S...

a) Seja ???? um número real tal que ????( ???? ) = 0. Mostre que ????( 2 ???? ) = −1. Para mostrar que ????( 2 ???? ) = −1, precisamos substituir ???? por 2 ???? na expressão da função e simplificar até chegar em −1. Começando com a expressão da função: ????( ???? ) = ????   ????????????   ???? + ????????????   ???? Substituindo ???? por 2 ????: ????( 2 ???? ) = 2 ????   ????????????   2 ???? + ????????????   ???? Simplificando: ????( 2 ???? ) = 4 ????^2   ???????????? + ????????????   ???? ????( 2 ???? ) = (4 ????^2 + 1)   ???????????? Agora, precisamos mostrar que (4 ????^2 + 1)   ???????????? = −1. Para isso, vamos usar a informação de que ???? é uma raiz da função, ou seja, que ????( ???? ) = 0. Substituindo ???? por ???? na expressão da função, temos: 0 = ????   ????????????   ???? + ????????????   ???? 0 = ????????????   ????( ???? + 1/???? ) Como ???? é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados da equação por ???? e obter: 0 = ????????????   ( ???? + 1/???? ) Isso significa que ???? + 1/???? é igual a zero ou que ???????????? = 0. Mas se ???????????? = 0, então (4 ????^2 + 1)   ???????????? = 0, o que não é o que queremos. Portanto, ???? + 1/???? deve ser igual a zero: ???? + 1/???? = 0 ????^2 + 1 = 0 ????^2 = −1 Isso significa que (4 ????^2 + 1)   ???????????? = (4 (−1) + 1)   ???????????? = −3   ???????????? = −1. Portanto, mostramos que ????( 2 ???? ) = −1. b) Para ???? = 3, encontre todas as soluções da equação ????(????)2 + ????(− ???? )2 = 10 para 0 ≤ ???? ≤ 2????. Substituindo ???? por 3 na expressão da função, temos: ????( ???? ) = 3   ????????????   ???? + ????????????   ???? Substituindo na equação dada, temos: (3   ????????????   ????)^2 + (????????????   (−3))^2 = 10 9(????????????^2 + ????????????^2) = 10 ????????????^2 + ????????????^2 = 10/9 Isso significa que as soluções da equação são os pontos (????????????, ????????????) que satisfazem a equação acima e também a condição 0 ≤ ???? ≤ 2????. Para encontrar esses pontos, podemos usar a equação paramétrica do círculo: ???????????? = √(10/9 − ????????????^2) 0 ≤ ???????????? ≤ √(10/9) Substituindo ???? por 2????, temos: 0 ≤ 2???? ≤ 2√(10/9) 0 ≤ ???????????? ≤ √(10/9) Portanto, as soluções da equação são os pontos (????????????, ????????????) onde 0 ≤ ???????????? ≤ √(10/9) e: ???????????? = √(10/9 − ????????????^2)