09 23 - (Lista de Exercícios - Polinômios II)

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Prof. Johnny 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Polinômios 
 
1. (Unesp 2018) Sendo 𝑥 um número real maior que 
2
3
, a 
área de um retângulo é dada pelo polinômio 3𝑥2 + 19𝑥 −
14. Se a base desse retângulo é dada pelo polinômio 𝑥 + 7, 
o quadrado da diagonal do retângulo é expresso pelo 
polinômio 
a) 10𝑥2 + 26𝑥 + 29. 
b) 10𝑥2 + 53. 
c) 10𝑥2 + 65. 
d) 4𝑥2 + 2𝑥 + 53. 
e) 10𝑥2 + 2𝑥 + 53. 
 
2. (Ita 2018) Seja 𝑝(𝑥) um polinômio não nulo. Se 𝑥3 −
4𝑥2 + 5𝑥 − 2 e 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 são divisores de 𝑝(𝑥), 
determine o menor grau possível de 𝑝(𝑥). 
 
3. (Ufjf 2018) Determine o polinômio 𝑃(𝑥) de grau 4 que 
satisfaz todas as propriedades abaixo: 
 
i) 𝑃(−𝑥) = 𝑃(𝑥), para todo 𝑥 real. 
ii) 𝑃(−1) = 3. 
iii) O produto de suas raízes é igual a 2. 
iv) O resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 𝑥3 + 1 é um polinômio de 
grau 1. 
 
4. (Unioeste 2018) As raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 +
𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒, são iguais a 𝑖, −𝑖,  3 e 
1
2
. Sobre 𝑃(𝑥), 
pode-se então afirmar que 
a) a soma dos coeficientes é igual a 
7
2
. 
b) os coeficientes 𝑏,  𝑐,  𝑑 e 𝑒 são números inteiros pares. 
c) o coeficiente e é múltiplo de 3. 
d) os coeficientes 𝑏,  𝑐,  𝑑 e 𝑒 são números racionais. 
e) os coeficientes 𝑏,  𝑐,  𝑑 e 𝑒 não são números reais. 
 
5. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2018) O polinômio 
𝑝(𝑥) = 6𝑥4 + 𝑥3 − 63𝑥2 + 104𝑥 − 48 possui 4 raízes reais, 
sendo que −4 é a única raiz negativa. Sabendo que o 
produto de duas das raízes desse polinômio é −4, a 
diferença entre as duas maiores raízes é 
a) 
1
8
 
b) 
1
6
 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
 
 
6. (Uefs 2018) O resto da divisão de um polinômio do 
terceiro grau 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 3) é igual a 24. Sabendo que as 
raízes do polinômio 𝑝(𝑥) são −3,  1 e 2, o valor de 𝑝(0) é 
a) 12. 
b) 15. 
c) 18. 
d) 21. 
e) 24. 
 
7. (Uece 2018) Se o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎𝑥3 + 𝑥 é 
divisível pelo polinômio 𝑑(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥, onde 𝑎 e 𝑏 são 
números reais, então, a relação entre 𝑎 e 𝑏 é 
a) 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 0. 
b) 𝑏2 − 𝑎𝑏 + 1 = 0. 
c) 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 1 = 0. 
d) 𝑏2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 = 0. 
 
8. (Upf 2018) Considere o polinômio 
𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 − (5 +𝑚)𝑥 + 3. 
Sabendo que o resto da divisão de 𝑃 pelo monômio 𝑥 + 2 é 
7, determine o valor de 𝑚. 
a) 0 
b) 15 
c) 2 
d) 7 
e) 21 
 
9. (Uem 2018) Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎3𝑥
3 +
𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, em que os coeficientes são todos reais. 
Assinale o que for correto. 
01) Se 𝑎0 é não nulo, então o zero nunca será raiz desse 
polinômio. 
02) Se 𝑎3 = 0, então esse polinômio poderá ser fatorado na 
forma (𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2), em que 𝑟1 e 𝑟2 são raízes do 
polinômio. 
04) Se 𝑎2 = 1 e 4 e 5 são as únicas raízes reais de 
multiplicidade 1 do polinômio, então teremos que 𝑎3 =
0 e 𝑎0 = 20. 
08) Se 𝑎3 ≠ 0, então é possível que esse polinômio tenha 
apenas duas raízes reais de multiplicidade 1. 
16) Se 1,  2 e 3 são raízes do polinômio, então 𝑎1 = 11𝑎3. 
 
10. (Pucrs 2017) Os polinômios 𝑝(𝑥),  𝑞(𝑥),  𝑓(𝑥),  ℎ(𝑥) em 
ℂ, nessa ordem, estão com seus graus em progressão 
geométrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 
16 e 2. A soma do número de raízes de 𝑞(𝑥) com o número 
de raízes de 𝑓(𝑥) é 
a) 24 
b) 16 
c) 12 
d) 8 
e) 4 
 
11. (Unicamp 2017) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, 
considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1. 
 
a) Mostre que, se 𝑟 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 
1
𝑟
 é uma raiz 
do polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3+𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1. 
b) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais a sequência 
(𝑝( − 1),  𝑝(0),  𝑝(1)) é uma progressão aritmética (PA), 
cuja razão é igual a 𝑝( 2). 
 
12. (Ime 2017) Sejam 𝑥, 𝑦 e 𝑧 números complexos que 
satisfazem ao sistema de equações abaixo: 
 
{
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 25
1
𝑥
+
1
𝑦
+
1
𝑧
=
1
4
 
 
 
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O valor da soma 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 é: 
a) 210 
b) 235 
c) 250 
d) 320 
e) 325 
 
13. (Uefs 2017) Considerando-se que o polinômio 𝑃(𝑥) =
𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem 1 como raiz dupla e 3 como raiz 
simples, é correto afirmar que o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por 
(𝑥 + 1) é 
a) −20 
b) −18 
c) −16 
d) −14 
e) −2 
 
14. (Epcar (Cpcar) 2017) Sejam 𝑄(𝑥) e 𝑅(𝑥) o quociente 
e o resto, respectivamente, da divisão do polinômio 
𝑥3−6𝑥2 + 9𝑥 − 3 pelo polinômio 𝑥2 − 5𝑥 + 6, em que 𝑥 ∈
ℝ. 
 
O gráfico que melhor representa a função real definida por 
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
15. (Ufjf 2017) Qual é o polinômio que ao ser multiplicado 
por tem como resultado o 
polinômio 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
16. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) O resto da 
divisão de um polinômio do segundo grau 𝑃 pelo binômio 
(𝑥 + 1) é igual a 3. Dado que 𝑃(0) = 6 e 𝑃(1) = 5, o valor 
de 𝑃(3) é 
a) −7 
b) −9 
c) 7 
d) 9 
 
17. (Eear 2017) Considere 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥, tal que 
𝑃(1) = −2 e 𝑃(2) = 6. Assim, os valores de 𝑏 e 𝑐 são, 
respectivamente, 
a) 1 e 2 
b) 1 e −2 
c) −1 e 3 
d) −1 e −3 
 
18. (Uece 2017) O resto da divisão de (264 + 1) por (232 +
1) é igual a 
a) 1. 
b) 0. 
c) 4. 
d) 2. 
 
19. (Mackenzie 2017) Os valores de 𝑅,  𝑃 e 𝐴 para que a 
igualdade 
2𝑥2+5𝑥−1
𝑥3−𝑥
=
𝑅
𝑥
+
𝑃
𝑥+1
+
𝐴
𝑥−1
 seja uma identidade são, 
respectivamente, 
a) 3,  1 e −2 
b) 1, −2 e 3 
c) 3, −2 e 1 
d) 1,  3 e −2 
e) −2,  1 e 3 
 
20. (Ufu 2017) Considere os polinômios 𝑝(𝑥) = 𝑥3+2𝑎 +
𝑏 e ℎ(𝑥) = 𝑥4+𝑎 − 2𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são constantes reais 
e 𝑥 é uma variável real. Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para 
os quais esses polinômios sejam divisíveis por 𝑥 − 4. 
 
 
Gabarito: 
1: [E] 2: O menor grau possível de 𝑝(𝑥) é 4. 
3: 𝑃(𝑥) = 𝑥4 + 2. 4: [D] 5: [B] 
6: [A] 7: [B] 8: [B] 
9: 01 + 04 + 16 = 21. 10: [C] 
11: a) Demonstração. 
 b) {
𝑎 = 0
𝑏 = −8
 . 
12: [B] 13: [C] 14: [A] 
15: [E] 16: [B] 17:[D] 
18: [D] 19: [B] 
20: Os valores de 𝑎 e 𝑏 que tornam 𝑝(𝑥) e ℎ(𝑥) divisíveis 
por 𝑥 − 4 são, respectivamente, −
384
5
 e 
448
5
. 
3 2g(x) 3x 2x 5x 4= + + −
6 5 4 3 2h(x) 3x 11x 8x 9x 17x 4x?= + + + − +
3 2x x x.+ +
3 2x x x.+ −
3 2x 3x x.+ +
3 2x 3x 2x.+ +
3 2x 3x x.+ −