32. (Unicamp 2017) Sabendo que ???? e ???? são números reais, considere o polinômio cúbico ????(????) = ????3 + ????????2 + ???????? + 1. a) Mostre que, se ???? é uma ...

a) Para mostrar que 1/???? é uma raiz do polinômio ????(????) = ????3 + ????????2 + ???????? + 1, basta substituir ???? por 1/???? na expressão do polinômio e verificar que o resultado é igual a zero. Assim, temos: ????(1/????) = (1/????)³ + (1/????)² + (1/????) + 1 ????(1/????) = (1 + ???? + ????² + ????³)/????³ Como ???? é uma raiz de ????(????), temos que: ????³ + ????² + ???? + 1 = 0 Substituindo ???? por 1/????, temos: (1/????)³ + (1/????)² + (1/????) + 1 = 0 1 + ???? + ????² + ????³ = 0 Portanto, temos que 1/???? é uma raiz do polinômio ????(????) = ????3 + ????????2 + ???????? + 1. b) Para que a sequência (????( − 1),  ????(0),  ????(1)) seja uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a ????( 2), temos que: ????(0) - ????(-1) = ????(1) - ????(0) ???? - (1/????) = ????(1) - ???? ????² - 1 = ????(1 - ????²) Como a razão da PA é igual a ????², temos que: ????(1) = ????(0) + ????² ???? = ????² + 1/???? Substituindo ???? por ????² + 1/???? na equação obtida anteriormente, temos: (????² + 1/????)² - 1 = ????(1 - (????² + 1/????)²) (????⁴ + 2 + 1/????²) - 1 = ????(1 - ????⁴ - 2/????² - 1/????⁴) ????⁴ - 2/????² - ????⁴/????² = ????(1 - ????⁴ - 2/????² - 1/????⁴) ????⁴ - ????⁴/????² = ???? - ????⁵ - 2????² - 1/????² - ????⁴/????² ????⁴ - ????⁴/????² = ???? - ????⁵ - 3????² - 1/????² Igualando os coeficientes de ???? e ????², temos o seguinte sistema de equações: ???? - ????⁵ = 0 -3 = 0 A segunda equação não tem solução real, portanto, não existem valores de ???? e ???? que satisfaçam as condições do problema.