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Prof. Hiroshi Matemática Página 1 de 4 Lista de Exercícios – Complexos e Polinômios 1.(Uepg-pss 3 2019) No plano complexo, se: 𝐴 é o afixo do número 𝑧1 = √2 (𝑐𝑜𝑠 𝜋 4 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 ), 𝐵 do número 𝑧2 = 4[𝑐𝑜𝑠( 2𝜋) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝜋)] e 𝐶 do número 𝑧3 = 4 + 𝑖, assinale o que for correto. 01) A área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 tem medida menor que 2. 02) A reta de equação 𝑦 = −3𝑥 + 12 passa pelos pontos 𝐴 e 𝐵. 04) O perímetro do triângulo 𝐴𝐵𝐶 tem medida maior que 7. 08) A circunferência de equação 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 2𝑦 = 0 tem centro no ponto 𝐴 e raio 1. 2.(Unicamp 2018) Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais não nulos. Se o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é uma raiz da equação quadrática 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0, então a) |𝑧| = 1 √3 . b) |𝑧| = 1 √5 . c) |𝑧| = √3. d) |𝑧| = √5. 3. (Efomm 2018) Resolvendo o sistema { |𝑧 − 2| = |𝑧 + 4| |𝑧 − 3| + |𝑧 + 3| = 10 , para 𝑧 complexo, encontramos como solução a) −1 + 8√6 5 𝑖; −1 − 8√6 5 𝑖 b) +1 + 8√6 5 𝑖; +1 − 8√6 5 𝑖 c) −1 + 6√8 5 𝑖; −1 − 6√8 5 𝑖 d) +1 + 6√8 5 𝑖; +1 − 6√8 5 𝑖 e) +1 − 8√6 5 𝑖; −1 − 8√6 5 𝑖 4. (Pucsp 2018) Considere os números complexos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = −𝑏 + 𝑎𝑖 e 𝑧3 = −𝑏 + 3𝑖, com 𝑎 e 𝑏 números inteiros. Sabendo que 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0, o valor de ( 𝑧2 𝑧1 ) 3 é igual a a) 1. b) −1. c) −𝑖. d) 𝑖. 5. (Uefs 2018) Dado um número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, com 𝑎 e 𝑏 reais, define-se afixo de 𝑧 como o ponto do plano complexo de coordenadas (𝑎, 𝑏). Sejam 𝐴, 𝐵 e 𝐶 os afixos dos números complexos 𝑧𝐴 = 14 + 4𝑖, 𝑧𝐵 = 6 − 2𝑖 e 𝑧𝐶 = 16 − 2𝑖. A área do triângulo de vértices 𝐴, 𝐵 e 𝐶 é a) 18. b) 24. c) 30. d) 36. e) 40. 6. (Ufrgs 2018) Considere as seguintes afirmações sobre números complexos. I. (2 + 𝑖)(2 − 𝑖)(1 + 𝑖)(1 − 𝑖) = 10. II. ( 7 2 + 1 3 𝑖) + ( 3 2 + 2 3 𝑖) = 5 2 + 1 2 𝑖. III. Se o módulo do número complexo 𝑧 é 5, então o módulo de 2𝑧 é 10. Quais afirmações estão corretas? a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) I, II e III. 7. (Uepg 2018) Considerando os números complexos 𝑧1 = 1 − 2𝑖 e 𝑧2 = −3 + 𝑖, assinale o que for correto. 01) |𝑧1𝑧2| = √50. 02) 𝑧1 𝑧2 = 1 2 (−1 + 𝑖). 04) (�̄�2) 2 = 8 − 6𝑖. 08) O módulo de 𝑧2 é √8. 16) O afixo de �̄�1 ⋅ �̄�2 pertence ao 2º quadrante. 8. (Ufsc 2018) É correto afirmar que: 01) A forma trigonométrica do número complexo de afixo (−2, −2√3) é 𝑧 = 4 (𝑐𝑜𝑠 4𝜋 3 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 4𝜋 3 ). 02) Sejam 𝑖 a unidade imaginária e 𝑧 = (−𝑚2 − 𝑚 − 12) + (𝑚2 − 16) ⋅ 𝑖. O único valor real de 𝑚 para que 𝑧 seja um número real não nulo é 𝑚 = 4. 04) Se 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥2 − 4 > 0}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; −𝑥2 + 3𝑥 < 0} e 𝐶 = {𝑥 ∈ ℤ; 2 < 𝑥 < 4}, então 𝐶 ⊂ 𝐴 ∩ 𝐵. 08) João ofereceu a um amigo uma televisão por 𝑅$ 1.500,00 à vista. A prazo, ele pediu 𝑅$ 1.800,00, sendo 𝑅$ 200,00 de entrada e o restante após um ano. A taxa de juros cobrada por João, no regime de capitalização simples, é maior que 20% ao ano. 16) Se 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são subconjuntos do universo 𝑈, tais que 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐶, então 𝐵 = 𝐶. 32) Se 𝑎 = (√2 √2 3 ) 3 , 𝑏 = 22 3 e 𝑐 = 8− 2 3, então 𝑏 𝑎⋅𝑐 = 28. 9. (Unigranrio - Medicina 2017) Sejam 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3 as raízes da equação 𝑥3 + 1 = 0, tomando como base o conjunto dos números complexos. Ao representarmos geometricamente essas raízes no plano de Argand- Gauss, obtemos um triângulo, cujos vértices são os afixos de 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3. A área do triângulo é: a) √3 4 b) 3 4 c) 2√3 4 d) 3√3 4 e) 3 2 Prof. Hiroshi Matemática Página 2 de 4 10. (Pucsp 2017) Considere os números complexos 𝑧1 = −1 − 𝑖, 𝑧2 = 𝑘 + 𝑖, com 𝑘 um número real positivo e 𝑧3 = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 Sabendo que |𝑧3| = √10, é correto afirmar que a) |𝑧1 + 𝑧2| = √7 b) 𝑧2 𝑧3 = −1+𝑖 2 c) O argumento de 𝑧2 é 225°. d) 𝑧3 ⋅ 𝑧2 = −1 + 2𝑖 11. (Mackenzie 2017) Se 2+𝑖 𝛽+2𝑖 tem parte imaginária igual a zero, então o número real 𝛽 é igual a a) 4 b) 2 c) 1 d) −2 e) −4 12. (Uem 2017) Sejam os números complexos 𝑧 = 1 − 𝑖 e 𝑤 = 2 + 𝑖. Denotam-se por �̄� e �̄� os conjugados de 𝑧 e 𝑤, respectivamente. Considerando esses dados, assinale o que for correto. 01) 𝑧 ⋅ �̄� = 2 − 3𝑖. 02) �̄� ⋅ | 𝑤 | = √3 + √3𝑖. 04) 𝑤 𝑧 = 1 2 + 3 2 𝑖. 08) 𝑧 + 𝑤 é um número imaginário. 16) Seja 𝑃( 𝑥) = 0 uma equação polinomial, com coeficientes reais, que tem 𝑧 e 𝑤 como raízes simples. Então o menor grau de 𝑃(𝑥) é 2. 13. (Uece 2017) Se 𝑖 é o número complexo cujo quadrado é igual a −1, então, o valor de 5 ⋅ 𝑖227 + 𝑖6 − 𝑖13 é igual a a) 𝑖 + 1. b) 4𝑖 − 1. c) −6𝑖 − 1. d) −6𝑖. 14. (Pucsp 2017) Em relação ao número complexo 𝑧 = 𝑖87 ⋅ (𝑖105 + √3) é correto afirmar que a) sua imagem pertence ao 3º quadrante do plano complexo. b) é imaginário puro. c) o módulo de 𝑧 é igual a 4. d) seu argumento é igual ao argumento do número complexo 𝑣 = 1 2 − √3 2 𝑖. 15. (Uece 2017) Para cada 𝑗 = 1, 3, 5, 7, considere o número complexo 𝑧𝑗 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋⋅𝑗 4 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜋⋅𝑗 4 , onde 𝑖 é o número completo tal que 𝑖2 = −1. Em relação aos números 𝑝 = 𝑧1 + 𝑧3 + 𝑧5 + 𝑧7 e 𝑞 = 𝑧1 ⋅ 𝑧3 ⋅ 𝑧5 ⋅ 𝑧7, é correto afirmar que a) 𝑝 = 0 e 𝑞 = 𝑖. b) 𝑝 = 1 e 𝑞 = 𝑖. c) 𝑝 = 0 e 𝑞 = 1. d) 𝑝 = 1 e 𝑞 = 1. 16. (Eear 2017) Se 𝑖 é a unidade imaginária, então 2𝑖3 + 3𝑖2 + 3𝑖 + 2 é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand-Gauss no __________ quadrante. a) primeiro b) segundo c) terceiro d) quarto 17. Resolva as equações em C: a) 𝑥2 − 2𝑥 + 2 = 0 b) (𝑥2 + 1)(𝑥2 − 1)(𝑥2 + 9) = 0 c) 𝑥3 − 8 = 0 18. (Mackenzie 2010) Se 𝑦 = 2𝑥, sendo i = √−1 e 𝑥 = 1+𝑖 1−𝑖 , o valor de (𝑥 + 𝑦)2 é: a) 9𝑖 b) – 9 + 𝑖 c) – 9 d) 9 e) 9 – 𝑖 19. (Unicamp 2014) O módulo do número complexo 𝑧 = i2014 − i1987 é igual a a) √2 b) 0 c) √3 d) 1 20. (Uece 2014) Se x e y são números reais não nulos, pode-se afirmar corretamente que o módulo do número complexo z = x − iy x + iy é igual a a) 1 b) 2 c) x2 + y2 d) |x. y| 21. Considere a função 𝑝(𝑥) = 𝑥4 – 81 e faça o que se pede em cada um dos itens a seguir. a) Decomponha 𝑝(𝑥) em fatores de primeiro grau. b) Resolva a equação 𝑝(𝑥) = 0, no universo dos números complexos. c) Represente, no plano complexo, cada uma das soluções encontradas, escreva suas coordenadas polares e suas respectivas formas trigonométricas. d) Calcule a área do polígono cujos vértices são os afixos das soluções da equação 𝑝(𝑥) = 0. 22. (Uepg-pss 3 2019) Sabendo que a divisão do polinômio 𝑃(𝑥) por 𝐷(𝑥) = 2𝑥2 + 6𝑥 + 7 resulta no quociente 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 e resto nulo, assinale o que for correto. 01) 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 1. 02) 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 + 2. 04) 𝑃(𝑥) é um polinômio do quinto grau. 08) 𝑃(0) = 0. 23. (Uece 2019) Considerando o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 + 8𝑥2 + 𝑥 + 1, é correto afirmar que o valor da soma 𝑃(−1) + 𝑃 (− 1 3 ) é um número localizado entre a) 5,0 e 5,5. b) 4,0 e 4,5. c) 4,5 e 5,0. d) 5,5 e 6,0. Prof. Hiroshi Matemática Página 3 de 4 24. (Ufpr 2019) O processo de encontrar um polinômio cujo gráfico passa por um determinado conjunto de pontos é chamado interpolação polinomial, e o polinômio obtido nesse processo é conhecido como polinômio interpolador. a) Verifique se 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 é polinômio interpolador para os pontos 𝑃1(−2, −3), 𝑃2(0, −3) e 𝑃3(1, 0). b) Encontre𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ tais que 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 seja polinômio interpolador para os pontos 𝑄1(−2, 8), 𝑄2(−1, 1), 𝑄3(1, −4) 𝑄4(2, −8). 25. (Ufrgs 2019) A soma dos coeficientes do polinômio 𝑃(𝑥) = (1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥3 + 𝑥4)1.000 é a) 1. b) 5. c) 100. d) 500. e) 1.000. 26. (Ufjf-pism 3 2018) O resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥10 − 1 pelo polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 20,2 é: a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 27. (Upf 2018) Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 4𝑥3 − 𝑥2 − (5 + 𝑚)𝑥 + 3. Sabendo que o resto da divisão de 𝑃 pelo monômio 𝑥 + 2 é 7, determine o valor de 𝑚. a) 0 b) 15 c) 2 d) 7 e) 21 28. (Eear 2017) Considere 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥, tal que 𝑃(1) = −2 e 𝑃(2) = 6. Assim, os valores de 𝑏 e 𝑐 são, respectivamente, a) 1 e 2 b) 1 e −2 c) −1 e 3 d) −1 e −3 29. (Acafe 2017) Seja 𝑃( 𝑥) um polinômio divisível por (𝑥 − 2). Se dividirmos o polinômio 𝑃( 𝑥) por (𝑥2 + 2 𝑥), obteremos como quociente o polinômio (𝑥2 − 2) e resto igual a 𝑅( 𝑥). Se 𝑅( 3) = 6, então, a soma de todos os coeficientes de 𝑃( 𝑥) é igual a: a) −38. b) −41. c) 91. d) 79. 30. (Mackenzie 2017) Os valores de 𝑅, 𝑃 e 𝐴 para que a igualdade 2𝑥2+5𝑥−1 𝑥3−𝑥 = 𝑅 𝑥 + 𝑃 𝑥+1 + 𝐴 𝑥−1 seja uma identidade são, respectivamente, a) 3, 1 e −2 b) 1, −2 e 3 c) 3, −2 e 1 d) 1, 3 e −2 e) −2, 1 e 3 31. (Ufu 2017) Considere os polinômios 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑎 + 𝑏 e ℎ(𝑥) = 𝑥4 + 𝑎 − 2𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 são constantes reais e 𝑥 é uma variável real. Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais esses polinômios sejam divisíveis por 𝑥 − 4. 32. (Unicamp 2017) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 1. a) Mostre que, se 𝑟 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 1 𝑟 é uma raiz do polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1. b) Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 para os quais a sequência (𝑝( − 1), 𝑝(0), 𝑝(1)) é uma progressão aritmética (PA), cuja razão é igual a 𝑝( 2). 33. (Uece 2017) O termo independente de 𝑥 no desenvolvimento da expressão algébrica (𝑥2 − 1)3 ⋅ (𝑥2 + 𝑥 + 2)2 é a) 4. b) −4. c) 8. d) −8. Prof. Hiroshi Matemática Página 4 de 4 Gabarito: 1. 05 2.b 3.a 4.c 5.c 6.d 7. 03 8. 40 9.d 10.b 11.a 12. 04 13.c 14.d 15.c 16.b 17.c 18.c 19.a 20.a 21. a) p(x) = (x − 3)(x + 3)(x − 3i)(x + 3i) b) S = {3, −3, 3i, −3i} c) (3, 0º); (3, 90º); (3, 180º) e (3, 270º) x1 = 3 · [cos 0º + i · sen 0º] x2 = 3 · [cos 90º + i · sen 90º] x3 = 3 · [cos 180º + i · sen 180º] x4 = 3 · [cos 270º + i · sen 270º] d) A área é igual a 18 22: 04 + 08 = 12. 23: [A] 24: a) 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 é polinômio interpolador dos pontos dados. b) 𝑎 = − 1 2 , 𝑏 = 1 2 , 𝑐 = −2 e 𝑑 = −2. 25.a 26.d 27.b 28.d 29.b 30.b 31. − 384 5 e 448 5 . 33.b 32: a) Se 𝑟 é uma raiz de 𝑝(𝑥), então 𝑟3 + 𝑎𝑟2 + 𝑏𝑟 + 1 = 0. Daí, temos 3 2 3 2 3 1 1 1 1 p b a 1 r r r r 1 (r ar br 1) r 0. = + + + = + + + = Portanto, segue o resultado. b) Sendo 𝑝(−1) = 𝑎 − 𝑏, 𝑝(0) = 1, 𝑝(1) = 𝑎 + 𝑏 + 2 e 𝑝(2) = 4𝑎 + 2𝑏 + 9, temos { 𝑎 − 𝑏 + 4𝑎 + 2𝑏 + 9 = 1 1 + 4𝑎 + 2𝑏 + 9 = 𝑎 + 𝑏 + 2 ∼ { 5𝑎 + 𝑏 = −8 −3𝑎 − 𝑏 = 8 ∼ { 𝑎 = 0 𝑏 = −8 .