5. (Unesp 2018) A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os pontos ????( 72°,  0,309), ????( ????????,   − 0,309) e ????( ????????,  0,309) são algu...

Para encontrar a soma dos ângulos, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos das funções I, II e III. Observando a figura, podemos ver que a função I é a função cosseno, a função II é a função seno e a função III é a função tangente. O ponto de interseção entre as funções cosseno e seno ocorre em (72°, 0,309) e o ponto de interseção entre as funções seno e tangente ocorre em (252°, -0,309). Para encontrar o ponto de interseção entre as funções cosseno e tangente, podemos igualar as equações das funções cosseno e tangente e resolver para x: cos(x) = tan(x) cos(x) = sin(x)/cos(x) cos²(x) = sin(x) 1 - sin²(x) = sin(x) sin²(x) + sin(x) - 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos que sin(x) = (-1 ± √5)/2. Como sin(x) é positivo no primeiro e segundo quadrantes, temos que sin(x) = (-1 + √5)/2. Portanto, x = arcsin((-1 + √5)/2) ≈ 116,57° ou x = 180° - arcsin((-1 + √5)/2) ≈ 63,43°. O ponto de interseção entre as funções cosseno e tangente ocorre em (116,57°, 0,309) ou (63,43°, 0,309). Agora podemos calcular a soma dos ângulos: 72° + 252° + 116,57° + 63,43° = 504° Portanto, a alternativa correta é a letra C) 540°.