8. (Unesp 2017) Uma função quadrática ???? é dada por ????(????) = ????2 + ???????? + ????, com ???? e ???? reais. Se ????( 1) = −1 e ????( 2) − ????( 3) = 1, o menor val...

A função quadrática é dada por f(x) = ax² + bx + c. Sabemos que f(1) = -1, então temos: a(1)² + b(1) + c = -1 a + b + c = -1 Também sabemos que f(2) - f(3) = 1, então temos: a(2)² + b(2) + c - a(3)² - b(3) - c = 1 4a + 2b + c - 9a - 3b - c = 1 -5a - b = 1 Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: a + b + c = -1 -5a - b = 1 Podemos resolver esse sistema utilizando o método da substituição ou da adição. Vou utilizar o método da substituição: -5a - b = 1 b = -5a - 1 Substituindo b na primeira equação: a + (-5a - 1) + c = -1 -4a + c = -1 + 1 -4a + c = 0 c = 4a Agora temos a função quadrática completa: f(x) = ax² + bx + c f(x) = ax² + (-5a - 1)x + 4a Para encontrar o menor valor de f(x), precisamos encontrar o vértice da parábola. O vértice tem coordenadas (-b/2a, -Δ/4a), onde Δ é o discriminante da função quadrática. O discriminante é dado por Δ = b² - 4ac. Substituindo os valores de a, b e c na fórmula do vértice: xv = -(-5a - 1)/(2a) = (5a + 1)/(2a) Δ = (-5a - 1)² - 4a(4a) = 9a² + 10a + 1 yv = -Δ/4a = -(9a² + 10a + 1)/(4a) Agora podemos encontrar o menor valor de f(x) substituindo xv na função quadrática: f(xv) = a(xv)² + (-5a - 1)(xv) + 4a f(xv) = a[(5a + 1)/(2a)]² + (-5a - 1)[(5a + 1)/(2a)] + 4a f(xv) = (25a² + 10a + 1)/(4a) - (25a² + 6a + 1)/(2a) + 4a f(xv) = (25a² + 10a + 1 - 50a² - 12a - 2 + 16a²)/(4a) f(xv) = (-9a² - 2a - 1)/(4a) Portanto, o menor valor de f(x) é (-9a² - 2a - 1)/(4a).