Questão 4. a) Defina a hipérbole como lugar geométrico. b) Determine a equação da hipérbole cujos vértice são os pontos V1(1,−2) e V2(5,−2)...

a) A hipérbole é um lugar geométrico formado por todos os pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos, chamados focos, é constante. b) Para determinar a equação da hipérbole, precisamos encontrar os valores de a, b e c. Sabemos que os vértices são V1(1,-2) e V2(5,-2), portanto, a distância entre eles é 2a, onde a é a distância do centro da hipérbole até um dos vértices. Assim, temos: 2a = 5 - 1 2a = 4 a = 2 O ponto F(6,-2) é um dos focos da hipérbole. Sabemos que a distância entre o foco e o centro da hipérbole é c. Assim, temos: c = 6 - 2 c = 4 Agora podemos encontrar o valor de b, utilizando a relação: c² = a² + b² Substituindo os valores que encontramos, temos: 4² = 2² + b² 16 = 4 + b² b² = 12 b = √12 = 2√3 Portanto, a equação da hipérbole é: (x - 3)²/4 - (y + 2)²/12 = 1 c) Para determinar a equação reduzida da hipérbole 7x² - 9y² + 28x + 54y - 116 = 0, precisamos completar o quadrado para x e y separadamente. Começando com x, temos: 7x² + 28x - 9y² + 54y = 116 7(x² + 4x) - 9(y² - 6y) = 116 Agora, precisamos adicionar e subtrair os termos necessários para completar o quadrado para x e y. Para x, adicionamos (4/2)² = 4 e subtraímos 4. Para y, adicionamos (6/2)² = 9 e subtraímos 9. Assim, temos: 7(x² + 4x + 4 - 4) - 9(y² - 6y + 9 - 9) = 116 7(x + 2)² - 9(y - 3)² = 232 Dividindo ambos os lados por 232, obtemos a equação reduzida: (x + 2)²/33 - (y - 3)²/26 = 1 O centro da hipérbole é (-2,3), os focos são (-5.6,3) e (1.6,3), os vértices são (-4.6,3) e (0.6,3), e a excentricidade é c/a = 2/√33.