Questão 3. Considere o operador linear T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (4x+ z, 2x+ 3y + 2z, x+ 4z). Seja A = [T ] a matriz canônica de T...

a) Para encontrar a matriz canônica de T, basta aplicar a transformação linear T nos vetores da base canônica de R3. Assim, temos: T(1, 0, 0) = (4, 2, 1) T(0, 1, 0) = (0, 3, 0) T(0, 0, 1) = (1, 2, 4) Logo, a matriz canônica de T é: A = [T] = | 4 0 1 | | 2 3 2 | | 1 0 4 | b) Para encontrar os autovalores de A, precisamos resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade 3x3. Assim, temos: det(A - λI) = | 4-λ 0 1 | | 2 3-λ 2 | | 1 0 4-λ | = (4-λ) [(3-λ)(4-λ) - 0] - 0 [2(4-λ) - 0] + 1 [2 - 0] = (4-λ) [(12 - 7λ + λ²)] - 2(4-λ) + 1 = λ³ - 11λ² + 38λ - 39 Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores: λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 5 c) Para encontrar a base e a dimensão do autoespaço correspondente a cada autovalor, precisamos resolver o sistema homogêneo (A - λI)x = 0 para cada autovalor encontrado. Assim, temos: Autovalor λ1 = 1: (A - λ1I)x = (A - I)x = | 3 0 1 | | x1 | | 0 | | 2 2 2 | | x2 | = | 0 | | 1 0 3 | | x3 | | 0 | Resolvendo o sistema, encontramos a base do autoespaço correspondente a λ1: x1 = -x3 x2 = x3 Assim, uma base para o autoespaço correspondente a λ1 é: {(-1, 0, 1)} A dimensão do autoespaço correspondente a λ1 é 1. Autovalor λ2 = 3: (A - λ2I)x = (A - 3I)x = | 1 0 1 | | x1 | | 0 | | 2 0 2 | | x2 | = | 0 | | 1 0 1 | | x3 | | 0 | Resolvendo o sistema, encontramos a base do autoespaço correspondente a λ2: x1 = -x3 x2 = x3 Assim, uma base para o autoespaço correspondente a λ2 é: {(-1, 0, 1), (0, 1, 0)} A dimensão do autoespaço correspondente a λ2 é 2. Autovalor λ3 = 5: (A - λ3I)x = (A - 5I)x = | -1 0 1 | | x1 | | 0 | | 2 -2 2 | | x2 | = | 0 | | 1 0 -1 | | x3 | | 0 | Resolvendo o sistema, encontramos a base do autoespaço correspondente a λ3: x1 = x3 x2 = x3 Assim, uma base para o autoespaço correspondente a λ3 é: {(1, 1, 1)} A dimensão do autoespaço correspondente a λ3 é 1. d) Para verificar se A é diagonalizável, precisamos verificar se existem bases para R3 formadas por autovetores de A. Como encontramos bases para os autoespaços correspondentes a cada autovalor, podemos afirmar que A é diagonalizável.