Considere a função T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) = (x− y, y − 2z, x + y − 4z). (a) [1,0 ponto] Mostre que T é linear. (b) [1,5 ponto] Determ...

(a) Para mostrar que T é linear, precisamos verificar se ela satisfaz as duas propriedades da linearidade: aditividade e homogeneidade. Aditividade: T(u + v) = T(u) + T(v) T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((x1 + x2) - (y1 + y2), (y1 + y2) - 2(z1 + z2), (x1 + x2) + (y1 + y2) - 4(z1 + z2)) T(u) + T(v) = T(x1, y1, z1) + T(x2, y2, z2) = (x1 - y1, y1 - 2z1, x1 + y1 - 4z1) + (x2 - y2, y2 - 2z2, x2 + y2 - 4z2) = (x1 + x2 - y1 - y2, y1 + y2 - 2z1 - 2z2, x1 + x2 + y1 + y2 - 4z1 - 4z2) Podemos ver que T(u + v) = T(u) + T(v), portanto, T é aditiva. Homogeneidade: T(ku) = kT(u) T(ku) = T(kx, ky, kz) = (kx - ky, ky - 2kz, kx + ky - 4kz) kT(u) = kT(x, y, z) = k(x - y, y - 2z, x + y - 4z) = (kx - ky, ky - 2kz, kx + ky - 4kz) Podemos ver que T(ku) = kT(u), portanto, T é homogênea. Como T satisfaz as duas propriedades da linearidade, podemos concluir que T é linear. (b) Para determinar ker(T), precisamos encontrar o vetor (x, y, z) tal que T(x, y, z) = (0, 0, 0). T(x, y, z) = (x - y, y - 2z, x + y - 4z) = (0, 0, 0) Isso nos leva ao sistema de equações: x - y = 0 y - 2z = 0 x + y - 4z = 0 Podemos resolver esse sistema de equações para obter: x = y z = y/2 Portanto, ker(T) é o conjunto de todos os vetores da forma (y, y, y/2), onde y é um número real. A dimensão de ker(T) é 1. (c) Para determinar Im(T), precisamos encontrar o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos na forma T(x, y, z). T(x, y, z) = (x - y, y - 2z, x + y - 4z) Podemos reescrever isso como: (x, y, z) = (1, 1, 0)a + (-1, 0, 1)b + (0, -2, -4)c Portanto, Im(T) é o conjunto de todos os vetores da forma (x, y, z) que podem ser escritos como combinações lineares dos vetores (1, 1, 0), (-1, 0, 1) e (0, -2, -4). A dimensão de Im(T) é 3.