Questão 3. Considere a transformação linear T : R3 → R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z). a) Determine uma base do núcleo de T b) Qual é ...

a) Para encontrar a base do núcleo de T, precisamos encontrar o conjunto de vetores (x, y, z) que satisfazem T(x, y, z) = (0, 0, 0). Assim, temos: T(x, y, z) = (0, 0, 0) (z, x - y, -z) = (0, 0, 0) Da terceira coordenada, temos que z = 0. Substituindo na segunda coordenada, temos que x - y = 0, ou seja, x = y. Portanto, o núcleo de T é gerado pelo vetor (1, 1, 0). Logo, uma base para o núcleo de T é {(1, 1, 0)}. b) Para encontrar a dimensão da imagem de T, podemos encontrar uma base para a imagem de T e contar quantos vetores há nessa base. Observe que a imagem de T é o espaço gerado pelos vetores (z, x - y, -z). Podemos reescrever esses vetores como combinações lineares dos vetores (0, 1, 0), (1, -1, 0) e (0, 0, -1): (z, x - y, -z) = x(0, 1, 0) + y(1, -1, 0) + z(0, 0, -1) Portanto, uma base para a imagem de T é {(0, 1, 0), (1, -1, 0), (0, 0, -1)}. Como essa base tem três vetores, a dimensão da imagem de T é 3. c) Para verificar se T é sobrejetora, precisamos verificar se todo vetor em R3 é imagem de algum vetor em R3 sob a transformação T. Observe que o vetor (1, 0, 0) não é imagem de nenhum vetor em R3 sob T, pois a primeira coordenada de T(x, y, z) é sempre igual à terceira coordenada. Portanto, T não é sobrejetora. d) Geometricamente, o núcleo de T é o plano que contém o vetor (1, 1, 0) e é perpendicular ao vetor (0, 1, -1). A imagem de T é o espaço tridimensional que contém os vetores (0, 1, 0), (1, -1, 0) e (0, 0, -1).