2) Em um triângulo ABC, seja P o ponto de concorrência das cevianas AA, BB e CC (com A (BC), B (CA), C (AB)), e seja M um ponto do plano do triângu...

Para demonstrar que 2(PrMP) = 2(ABC) + 2(MCAP) + 2(MBCP) + 2(MABP) + 2(MACP) + 2(MBCP), podemos usar a lei dos cossenos e a fórmula da área do triângulo. Primeiro, observe que PrMP é a potência de P em relação ao círculo circunscrito a ABC. Isso significa que PrMP = PM * (PM + MP), onde PM é a distância de P a M e MP é a distância de M a qualquer ponto da circunferência circunscrita a ABC. Agora, vamos usar a lei dos cossenos para encontrar as medidas dos lados dos triângulos MCAP, MBCP e MABP. Por exemplo, para MCAP, temos: cos(CAP) = (CA² + AP² - CP²) / (2 * CA * AP) Usando a fórmula da área do triângulo, temos: 2(MCAP) = CA * AP * sin(CAP) = CA * AP * sqrt(1 - cos²(CAP)) Podemos fazer o mesmo para os outros triângulos e somar as áreas para obter 2(MCAP) + 2(MBCP) + 2(MABP). Finalmente, observe que os triângulos MAC e MBC têm a mesma área, assim como os triângulos MAB e MAP. Portanto, podemos escrever: 2(MACP) + 2(MBCP) = 2(MCAP) + 2(MABP) Substituindo tudo na equação original, obtemos: 2(PrMP) = 2(ABC) + 2(MCAP) + 2(MBCP) + 2(MABP) + 2(MACP) + 2(MBCP)