Em um triangulo isósceles ABC, de base AC, se traça a ceviana interior BD e na região interior do triangulo ABD se localiza o ponto E, tal que os ...

Como os triângulos ABE e BCD são congruentes, temos que: AB = BC (lados congruentes do triângulo isósceles ABC) BE = CD (lados congruentes dos triângulos ABE e BCD) Além disso, como a ceviana BD divide o triângulo ABC em dois triângulos congruentes (ABD e CBD), temos que: Ângulo ABD = Ângulo CBD Assim, podemos concluir que: Ângulo ABE = Ângulo BCD (são suplementares) Ângulo ABD = Ângulo CBD AB = BC BE = CD A partir dessas informações, podemos concluir que os triângulos ABE e BCD são triângulos retângulos, pois: Ângulo ABE + Ângulo BCD = 180° (são suplementares) Ângulo ABE = Ângulo BCD = 90° (pois são congruentes) Portanto, temos que: AB² = AE² + BE² (Teorema de Pitágoras no triângulo ABE) BC² = BD² + CD² (Teorema de Pitágoras no triângulo BCD) Substituindo AB por BC (pois são congruentes) e BE por CD (pois são congruentes), temos: BC² = AE² + CD² Como queremos calcular a soma dos quadrados dos catetos do triângulo retângulo ABE, temos que: ????�̂�????² + ????�̂�????² = AE² + BE² ????�̂�????² + ????�̂�????² = AE² + CD² (pois BE = CD) Substituindo BC por AB (pois são congruentes) na equação anterior, temos: ????�̂�????² + ????�̂�????² = AC² - CD² + CD² ????�̂�????² + ????�̂�????² = AC² Portanto, a soma dos quadrados dos catetos do triângulo retângulo ABE é igual ao quadrado da hipotenusa AC do triângulo isósceles ABC.