Prove que para todo inteiro n, nn −7 é divisível por 7.

Para provar que para todo inteiro n, nn - 7 é divisível por 7, podemos usar a técnica de indução matemática. Base: Para n = 1, temos que 1^1 - 7 = -6, que é divisível por 7. Hipótese: Suponha que para um inteiro k qualquer, temos que k^k - 7 é divisível por 7. Passo da indução: Vamos provar que para k + 1, também é verdade que (k + 1)^(k + 1) - 7 é divisível por 7. (k + 1)^(k + 1) - 7 = (k + 1) * (k + 1)^k - 7 Podemos usar a hipótese de indução para substituir (k + 1)^k por 7n, onde n é um inteiro qualquer. (k + 1) * (k + 1)^k - 7 = (k + 1) * 7n - 7 Podemos fatorar 7 do lado direito da equação: (k + 1) * 7n - 7 = 7 * [(k + 1) * n - 1] Como (k + 1) * n - 1 é um inteiro, podemos concluir que (k + 1)^(k + 1) - 7 é divisível por 7. Portanto, a afirmação é verdadeira para todo inteiro n.