O Teorema de Fubini nos diz que: se f(x, y) é contínua no retângulo R = [a, 5] x [c, d], então a integral dupla na região R é calculada por meio d...

Para calcular o volume do sólido delimitado pelo paraboloide elíptico x² + y² + z = 9 e os planos x = 3, y = 3 e os três planos coordenados, podemos utilizar o Teorema de Fubini. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x, y e z. Como o paraboloide elíptico é simétrico em relação aos planos xy, podemos considerar apenas a metade superior do sólido. Assim, temos: - Para z: a altura do sólido varia de 0 a 3 (interseção do paraboloide com o plano xy). - Para y: a seção transversal do sólido em relação ao plano yz é um círculo de raio 3 (interseção do paraboloide com o plano x = 0). Portanto, y varia de 0 a 3. - Para x: a seção transversal do sólido em relação ao plano xz é um círculo de raio 3 (interseção do paraboloide com o plano y = 0). Portanto, x varia de 0 a 3. Agora, podemos escrever a integral tripla para calcular o volume do sólido: V = ∭E dV = ∫₀³ ∫₀³ ∫₀^(9-x²-y²) dz dy dx Integrando em relação a z, temos: V = ∫₀³ ∫₀³ (9 - x² - y²) dy dx Integrando em relação a y, temos: V = ∫₀³ (9y - y³/3 - x²y)dy dx Integrando em relação a x, temos: V = 81/2 Portanto, o volume do sólido é 81/2 unidades cúbicas.