O Teorema de Fubini nos diz que: se f(x,y) é contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d], então a integral dupla na região R é calculada por meio das i...

Para calcular o volume do sólido S, podemos utilizar o Teorema de Fubini para calcular a integral dupla na região R = [0,3] x [0,3] de f(x,y) = 9 - x² - y². Podemos calcular a integral dupla de f(x,y) em R por meio das integrais iteradas, primeiro em relação a x e depois em relação a y, ou vice-versa. Integrando em relação a x primeiro, temos: ∫[0,3] ∫[0,3] (9 - x² - y²) dy dx = ∫[0,3] [(9y - xy² - y³)/3]dy, de y = 0 a y = 3 = ∫[0,3] (27 - 9x - 3x²)dx = [27x - (3/2)x² - (1/4)x³] de x = 0 a x = 3 = 20.25 Integrando em relação a y primeiro, temos: ∫[0,3] ∫[0,3] (9 - x² - y²) dx dy = ∫[0,3] [(9x - x³ - xy²)/3]dx, de x = 0 a x = 3 = ∫[0,3] (27 - 9y - 3y²)dy = [27y - (9/2)y² - (1/4)y³] de y = 0 a y = 3 = 20.25 Portanto, o volume do sólido S é 20.25. Podemos verificar que o Teorema de Fubini é válido para este exercício, pois as duas ordens de integração produzem o mesmo resultado.