11) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm2) é:

a) 50
b) 4
c) 11
d) 15
e) 7

Question

11) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm2) é:

a) 50
b) 4
c) 11
d) 15
e) 7

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos usar as informações dadas sobre o triângulo retângulo.

1. A hipotenusa (c) mede 10 cm.
2. O perímetro (P) do triângulo é 22 cm.

O perímetro de um triângulo retângulo é dado pela soma dos comprimentos dos seus lados: $ a + b + c = P $, onde $ a $ e $ b $ são os catetos. Assim, temos:

$$ a + b + 10 = 22 $$
$$ a + b = 12 $$ (1)

Agora, usando o Teorema de Pitágoras, sabemos que:

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$
$$ a^2 + b^2 = 10^2 $$
$$ a^2 + b^2 = 100 $$ (2)

Agora, temos um sistema de duas equações (1) e (2). Vamos expressar $ b $ em termos de $ a $ a partir da equação (1):

$$ b = 12 - a $$

Substituindo $ b $ na equação (2):

$$ a^2 + (12 - a)^2 = 100 $$
$$ a^2 + (144 - 24a + a^2) = 100 $$
$$ 2a^2 - 24a + 144 - 100 = 0 $$
$$ 2a^2 - 24a + 44 = 0 $$
$$ a^2 - 12a + 22 = 0 $$

Agora, vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:

$$ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
onde $ a = 1, b = -12, c = 22 $.

Calculando o discriminante:

$$ \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 144 - 88 = 56 $$

Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara:

$$ a = \frac{12 \pm \sqrt{56}}{2} $$
$$ a = \frac{12 \pm 2\sqrt{14}}{2} $$
$$ a = 6 \pm \sqrt{14} $$

Assim, temos dois valores para $ a $:
1. $ a = 6 + \sqrt{14} $
2. $ a = 6 - \sqrt{14} $

Agora, substituindo esses valores de $ a $ para encontrar $ b $:

1. Se $ a = 6 + \sqrt{14} $, então $ b = 12 - (6 + \sqrt{14}) = 6 - \sqrt{14} $.
2. Se $ a = 6 - \sqrt{14} $, então $ b = 12 - (6 - \sqrt{14}) = 6 + \sqrt{14} $.

Agora, a área $ A $ do triângulo retângulo é dada por:

$$ A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b $$

Substituindo os valores de $ a $ e $ b $:

$$ A = \frac{1}{2} \cdot (6 + \sqrt{14}) \cdot (6 - \sqrt{14}) $$
$$ A = \frac{1}{2} \cdot (36 - 14) $$
$$ A = \frac{1}{2} \cdot 22 $$
$$ A = 11 \, \text{cm}^2 $$

Portanto, a área do triângulo é:

**c) 11**.

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos utilizar as informações fornecidas sobre o triângulo retângulo. Sabemos que a hipotenusa mede 10 cm e o perímetro é 22 cm.

Primeiramente, vamos encontrar as medidas dos catetos do triângulo retângulo. Como o perímetro é a soma de todos os lados do triângulo, temos que a soma dos catetos mais a hipotenusa é igual a 22 cm. Como a hipotenusa é 10 cm, a soma dos catetos é 22 cm - 10 cm = 12 cm.

Como estamos lidando com um triângulo retângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar as medidas dos catetos. Sejam a e b os catetos do triângulo, temos que a² + b² = 10² (hipotenusa ao quadrado). Como a soma dos catetos é 12 cm, temos a + b = 12.

Podemos resolver esse sistema de equações para encontrar os catetos a e b.

a + b = 12
a² + b² = 100

Resolvendo, encontramos que a = 6 cm e b = 8 cm.

Agora, para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula da área de um triângulo retângulo: área = (cateto1 * cateto2) / 2. Substituindo os valores, temos:

área = (6 * 8) / 2
área = 48 / 2
área = 24 cm²

Portanto, a área do triângulo é 24 cm². A alternativa correta é: a) 50.

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar as medidas dos catetos do triângulo retângulo.

Sabemos que a hipotenusa mede 10 cm, então podemos escrever:

a² + b² = c²

Onde "a" e "b" são as medidas dos catetos e "c" é a medida da hipotenusa. Substituindo os valores, temos:

a² + b² = 10²
a² + b² = 100

Também sabemos que o perímetro do triângulo é 22 cm, então podemos escrever:

a + b + c = 22

Substituindo o valor de "c" por 10, temos:

a + b + 10 = 22
a + b = 12

Agora podemos resolver o sistema formado pelas duas equações:

a² + b² = 100
a + b = 12

Podemos isolar uma das variáveis na segunda equação e substituir na primeira equação:

a = 12 - b
(12 - b)² + b² = 100
144 - 24b + 2b² = 100
2b² - 24b + 44 = 0
b² - 12b + 22 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos:

b = 2 ou b = 10

Se b = 2, então a = 10 - b = 8. Nesse caso, o triângulo não seria retângulo, pois 8² + 2² ≠ 10².

Se b = 10, então a = 2. Nesse caso, o triângulo é retângulo e a área pode ser calculada por:

área = (a x b) / 2
área = (2 x 10) / 2
área = 10

Portanto, a alternativa correta é a letra A) 50.

Matemática

11) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm2) é: a) 50 b) 4 c) 11 d) 15 e) 7

reviso 13

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reviso 13

1) Uma parede foi totalmente revestida com azulejos quadrados de 15 cm de lado. Sabendo-se que foram colocadas 20 fileiras de azulejos e que em cada fileira há 40 azulejos, quantos metros quadrados tem a área revestida?

2) Na figura, determine a área do quadrado ABDE.

3) Aplique o teorema de Pitágoras para determinar a medida x do lado do quadrado destacado na figura. A seguir, determine a área desse quadrado, sabendo que as medidas indicadas são dadas em centímetros.

4) A área do retângulo ABCD é 91 cm2. Qual é a área do quadrado da figura?

6) Num triângulo isósceles, cada lado congruente mede 20 cm e a base mede 24 cm. Use o teorema de Pitágoras para calcular a medida h da altura relativa à base e calcule, a seguir, a área do triângulo.

10) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa?

a) 40 - 20 π
b) 400 - 20 π
c) 100 - 100 π
d) 20 - 20
e) 400 - 100 π

12) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a altura. Então a área é:

a) 200
b) 300
c) 100
d) 50
e) 30

16) figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:

a) (π/2) + 2
b) π+ 2
c) π+ 3
d) π+ 4

17) A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior?

a) 36 cm2
b) 20 cm2
c) 49 cm2
d) 42 cm2
e) 64 cm2

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Matemática

11) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm2) é: a) 50 b) 4 c) 11 d) 15 e) 7

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1) Uma parede foi totalmente revestida com azulejos quadrados de 15 cm de lado. Sabendo-se que foram colocadas 20 fileiras de azulejos e que em cada fileira há 40 azulejos, quantos metros quadrados tem a área revestida?

2) Na figura, determine a área do quadrado ABDE.

3) Aplique o teorema de Pitágoras para determinar a medida x do lado do quadrado destacado na figura. A seguir, determine a área desse quadrado, sabendo que as medidas indicadas são dadas em centímetros.

4) A área do retângulo ABCD é 91 cm2. Qual é a área do quadrado da figura?

6) Num triângulo isósceles, cada lado congruente mede 20 cm e a base mede 24 cm. Use o teorema de Pitágoras para calcular a medida h da altura relativa à base e calcule, a seguir, a área do triângulo.

10) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa?a) 40 - 20 πb) 400 - 20 πc) 100 - 100 πd) 20 - 20e) 400 - 100 π

12) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a altura. Então a área é:a) 200b) 300c) 100d) 50e) 30

16) figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:a) (π/2) + 2b) π+ 2c) π+ 3d) π+ 4

17) A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior?a) 36 cm2b) 20 cm2c) 49 cm2d) 42 cm2e) 64 cm2

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10) De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa?

a) 40 - 20 π
b) 400 - 20 π
c) 100 - 100 π
d) 20 - 20
e) 400 - 100 π

12) Num retângulo de perímetro 60, a base é duas vezes a altura. Então a área é:

a) 200
b) 300
c) 100
d) 50
e) 30

16) figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:

a) (π/2) + 2
b) π+ 2
c) π+ 3
d) π+ 4

17) A soma das áreas dos três quadrados ao lado é igual a 83 cm2. Qual é a área do quadrado maior?

a) 36 cm2
b) 20 cm2
c) 49 cm2
d) 42 cm2
e) 64 cm2