do 2° grau e K um número real não nulo. Se P(k) = 0, P(-k) = 2k2 e P(x) = P(k – x) para todo x real, então o resto da divisão de P(x) por x – 1 é i...

Para encontrar o resto da divisão de P(x) por x - 1, podemos usar o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por x - a é igual a P(a). Como P(x) = P(k - x) para todo x real, podemos substituir x por k - x e obter P(k - x) = P(x). Assim, temos: P(k - 1) = P(k - (k - 1)) = P(1) Portanto, o resto da divisão de P(x) por x - 1 é igual a P(1). Para encontrá-lo, podemos usar as informações dadas no enunciado: P(k) = 0, então k é uma raiz de P(x). P(-k) = 2k², então -k é outra raiz de P(x). Como P(x) é um polinômio de grau 2, podemos escrevê-lo na forma P(x) = a(x - k)(x + k), onde a é um coeficiente constante. Substituindo x = 0, temos: P(0) = a(-k)(k) = -ak² Substituindo x = 1, temos: P(1) = a(1 - k)(1 + k) = a(1 - k²) Usando as informações de P(0) e P(1), podemos encontrar o valor de a: -ak² = P(0) = 0 - 2k² = -2k² a = 2k Substituindo a em P(1), temos: P(1) = 2k(1 - k²) = 2k - 2k³ Portanto, o resto da divisão de P(x) por x - 1 é igual a -2k³ + 2k. A alternativa correta é a letra E).