12- Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de interseção: r : X = (1, 1, 0) + λ(1, 2, 3), s : X = (2, 3, 3) ...

Para verificar se as retas r e s são concorrentes, precisamos igualar as equações paramétricas das retas e verificar se há solução para o sistema de equações resultante. Igualando as equações paramétricas das retas r e s, temos: 1 + λ1 = 2 + λ2 + 3μ 1 + 2λ1 = 3 + 2λ2 + 2μ 3λ1 = 3 + λ2 + μ Podemos reescrever esse sistema de equações na forma matricial: | 1 -1 -3 | | λ1 | | 1 | | 1 -2 -2 | | λ2 | = | 1 | | 3 -1 -1 | | μ | | 2 | Calculando o determinante da matriz dos coeficientes, temos: | 1 -1 -3 | | 1 -2 -2 | | 3 -1 -1 | = -2 Como o determinante é diferente de zero, o sistema tem solução única e, portanto, as retas r e s são concorrentes. Para obter o ponto de interseção, podemos substituir os valores de λ1, λ2 e μ em uma das equações paramétricas das retas. Vamos escolher a equação paramétrica da reta r: X = (1, 1, 0) + λ1(1, 2, 3) X = (1 + λ1, 1 + 2λ1, 3λ1) Substituindo os valores de λ1, λ2 e μ encontrados no sistema de equações, temos: X = (1, 1, 0) + (-1/2)(1, 2, 3) X = (1/2, 0, -3/2) Portanto, o ponto de interseção das retas r e s é P = (1/2, 0, -3/2).