Determine o valor da integral ∭V 64z dxdydz∭� 64� ������, onde V está contido na região definida por {(r,φ,θ)∈R3/ 1≤r≤2, 0≤θ≤π4 e 0≤φ≤π4}{(�,�,�)∈�...

Para resolver essa integral, podemos utilizar a fórmula da integral tripla em coordenadas cilíndricas: ∭V f(x,y,z) dV = ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/4) ∫(1 to 2) f(r cosφ sinθ, r sinφ sinθ, r cosθ) r dz dφ dr Substituindo a função f(x,y,z) = 64z, temos: ∭V 64z dV = ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/4) ∫(1 to 2) 64r cosθ sinθ dz dφ dr Resolvendo a integral em relação a z, temos: ∭V 64z dV = ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/4) 32r cosθ sinθ (2 - 1) dφ dr ∭V 64z dV = ∫(0 to 2π) ∫(0 to π/4) 32r cosθ sinθ dφ dr Resolvendo a integral em relação a φ, temos: ∭V 64z dV = ∫(0 to 2π) 16r cosθ sinθ dθ dr Resolvendo a integral em relação a θ, temos: ∭V 64z dV = 16 ∫(0 to 2π) cosθ sinθ dθ ∫(1 to 2) r dr ∭V 64z dV = 16 [0] ∫(1 to 2) r dr ∭V 64z dV = 16 [1/2 (2^2 - 1^2)] ∭V 64z dV = 15π Portanto, o valor da integral é 15π. A alternativa correta é a letra A).