7. A área definida pela equação ρ =cos 3θ� =��� 3� , para o intervalo 0 < θ� < κ� , com κ� > 0, vale π16�16 . Qual é o valor de κ� ? π32�32 π4�4 π...

A área definida pela equação ρ = cos 3θ é igual a π/16. Sabemos que a área de uma região em coordenadas polares é dada por 1/2 ∫(θ2-θ1) ρ² dθ. Substituindo os valores, temos: 1/2 ∫(0-κ) (cos 3θ)² dθ = π/16 Resolvendo a integral, temos: 1/2 ∫(0-κ) (cos² 3θ) dθ = π/16 1/2 ∫(0-κ) (1 + cos 6θ)/2 dθ = π/16 1/4 [θ + (1/6) sin 6θ]0κ = π/16 θ/4 + (1/24) sin 6θ0κ = π/16 θ/4 + (1/24) sin 6κ - (1/24) sin 0 = π/16 θ/4 + (1/24) sin 6κ = π/16 θ/4 = π/16 - (1/24) sin 6κ θ = 4π/16 - (1/6) sin 6κ θ = π/4 - (1/6) sin 6κ Substituindo o valor de θ na equação original, temos: ρ = cos 3(π/4 - (1/6) sin 6κ) ρ = sin (π/6 + 3/2 sin 6κ) A área da região é dada por: 1/2 ∫(0-κ) (sin (π/6 + 3/2 sin 6θ))² dθ = π/16 Resolvendo a integral, temos: 1/2 ∫(0-κ) (1 - cos (π/3 + 3 sin 6θ))/2 dθ = π/16 1/4 [θ - (1/3) sin (π/3 + 3 sin 6θ)]0κ = π/16 θ/4 - (1/12) sin (π/3 + 3 sin 6θ)0κ = π/16 θ/4 - (1/12) sin (π/3 + 3 sin 6κ) + (1/12) sin (π/3 + 3 sin 0) = π/16 θ/4 - (1/12) sin (π/3 + 3 sin 6κ) + (1/12) sin π/3 = π/16 θ/4 - (1/12) sin (π/3 + 3 sin 6κ) + (1/12) (sqrt(3)/2) = π/16 θ/4 - (1/12) sin (π/3 + 3 sin 6κ) = π/16 - (sqrt(3)/24) θ/4 = π/16 - (sqrt(3)/24) + (1/12) sin (π/3 + 3 sin 6κ) θ = 4π/16 - (sqrt(3)/6) + (1/3) sin (π/3 + 3 sin 6κ) θ = π/4 - (sqrt(3)/6) + (1/3) sin (π/3 + 3 sin 6κ) Substituindo o valor de θ na equação original, temos: ρ = cos 3(π/4 - (sqrt(3)/6) + (1/3) sin (π/3 + 3 sin 6κ)) ρ = cos (3π/4 - (sqrt(3)/2) sin (π/3 + 3 sin 6κ)) ρ = -sin (π/6 + 3/2 sin (π/3 + 3 sin 6κ)) Comparando com a equação original, temos: sin (π/6 + 3/2 sin 6κ) = -sin (π/6 + 3/2 sin (π/3 + 3 sin 6κ)) π/6 + 3/2 sin 6κ = π - (π/6 + 3/2 sin (π/3 + 3 sin 6κ)) π/6 + 3/2 sin 6κ = 5π/6 - 3/2 sin (π/3 + 3 sin 6κ) sin 6κ = (5/6) sin (π/3 + 3 sin 6κ) sin 6κ = (5/6) (sqrt(3)/2 cos 3 sin 6κ + 1/2 sin 3 sin 6κ) sin 6κ = (5sqrt(3)/12 cos 3 sin 6κ + 5/12 sin 3 sin 6κ) sin 6κ - (5sqrt(3)/12 cos 3 sin 6κ) = (5/12) sin 3 sin 6κ sin 6κ (1 - (5sqrt(3)/12 cos 3)) = (5/12) sin 3 sin 6κ sin 6κ = (5/12) sin 3 sin 6κ / (1 - (5sqrt(3)/12 cos 3)) sin 6κ = (5/12) sin 3 sin 6κ / (1 - (5sqrt(3)/24)) 1 - (5sqrt(3)/24) = 19/24 sin 6κ = (5/12) sin 3 sin 6κ / (19/24) sin 6κ = (5/12) (sqrt(3)/2 sin 6κ + 1/2 sin 6κ) / (19/24) sin 6κ = (5sqrt(3)/38 + 5/38) sin 6κ sin 6κ = (5sqrt(3) + 5)/38 sin 6κ 5sqrt(3) + 5 = 38 5sqrt(3) = 33 sqrt(3) = 33/5 κ = π/4 - (1/6) sin 6κ κ = π/4 - (1/6) sin (6 arcsin (33/38)) κ = π/4 - (1/6) (6π/7) κ = π/4 - π/7 κ = (3π/28)