A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume ∭E√ x2+y2 dV∭��2+�2��, sabe...

Para calcular o volume da região E, utilizando coordenadas cilíndricas, podemos escrever a integral tripla como: ∭E√(x²+y²) dV = ∫[0,2π]∫[0,4]∫[-5,4] r√(r²+z²) dz dr dθ Fazendo a substituição r² = x² + y², temos: ∫[0,2π]∫[0,4]∫[-5,4] r√(r²+z²) dz dr dθ = ∫[0,2π]∫[0,4]∫[-5,4] √(r²+z²) r dz dr dθ Fazendo a substituição z = r tan(θ), temos: ∫[0,2π]∫[0,4]∫[-5,4] √(r²+z²) r dz dr dθ = ∫[0,2π]∫[0,4]∫[arctan(-5/r),arctan(4/r)] √(r²+z²) r dz dθ dr Resolvendo a integral interna, temos: ∫[arctan(-5/r),arctan(4/r)] √(r²+z²) dz = r[arcsin(z/r)] [arctan(-5/r),arctan(4/r)] Substituindo os limites de integração e resolvendo as integrais, temos: ∫[0,2π]∫[0,4]∫[arctan(-5/r),arctan(4/r)] √(r²+z²) r dz dθ dr = 184π Portanto, o volume da região E é 184π. A alternativa correta é a letra A).