A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos. Seja a>0�>0 determine o volume do sólid...

Para determinar o volume do sólido S, limitado pelo plano z=0 e pelo paraboloide z=a−x²−y², é necessário realizar a integração dupla da função 1 em relação às variáveis x e y, no domínio do paraboloide. O domínio do paraboloide é dado por x² + y² <= a, ou seja, um círculo de raio a no plano xy. Assim, a integral dupla fica: ∬S 1 dS = ∬R ∫0^(a-x²-y²) dz dA Onde R é o círculo de raio a no plano xy. Fazendo a mudança para coordenadas polares, temos: ∬S 1 dS = ∫0^2π ∫0^a-r r dz dr dθ Resolvendo as integrais, temos: ∬S 1 dS = ∫0^2π ∫0^a-r r dz dr dθ = ∫0^2π [r(a-r)]/2 dr dθ = πa²/2 Portanto, a alternativa correta é a letra C) πa²/2.