integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos. Seja a > 0 a > 0 determine o volume do ...

Para determinar o volume do sólido S limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = a - x^2 - y^2, podemos utilizar a integração dupla. Podemos escrever a integral dupla como: V = ∬S (a - x^2 - y^2) dA Onde S é a região do plano xy limitada pela curva x^2 + y^2 = a e dA é o elemento de área em coordenadas polares. Podemos escrever dA como: dA = r dr dθ Substituindo dA na integral dupla, temos: V = ∫ de 0 a ∫ de 0 2π (a - r^2) r dr dθ Resolvendo as integrais, temos: V = 2π ∫ de 0 a (ar - r^3/3) dr V = 2π (a^2/2 - a^4/12) V = πa^2 (2/3) Portanto, o volume do sólido S é πa^2 (2/3).