A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos. Seja determine o volume do sólido limit...

Para determinar o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide, podemos utilizar a integração dupla. Primeiramente, devemos encontrar os limites de integração para x, y e z. O plano z=0 intersecta o paraboloide quando a-x²-y²=0, ou seja, y = ±sqrt(a-x²). Assim, os limites de integração para x e y são: -sqrt(a) ≤ x ≤ sqrt(a) e -sqrt(a-x²) ≤ y ≤ sqrt(a-x²). Para z, os limites são 0 ≤ z ≤ a-x²-y². Portanto, a integral dupla para calcular o volume é dada por: V = ∬R (a-x²-y²) dA Onde R é a região de integração definida pelos limites encontrados acima. Integrando em ordem reversa, primeiro em y e depois em x, temos: V = ∫-sqrt(a)^sqrt(a) ∫-sqrt(a-x²)^sqrt(a-x²) (a-x²-y²) dy dx Fazendo a integral em y, temos: V = ∫-sqrt(a)^sqrt(a) [y(a-x²) - (1/3)y³] |-sqrt(a-x²) ^sqrt(a-x²) dx V = ∫-sqrt(a)^sqrt(a) [(a-x²)(2sqrt(a-x²)) - (1/3)(sqrt(a-x²))^3] dx V = 2∫0^sqrt(a) [(a-x²)(2sqrt(a-x²)) - (1/3)(sqrt(a-x²))^3] dx V = 4/3 ∫0^a x²sqrt(a-x²) dx Fazendo a substituição u = a-x², temos: V = 4/3 ∫0^a (a-u) sqrt(u) du V = 4/3 [2/3 (a-u)^(3/2)] |0^a V = 8/9 a^(3/2) Portanto, o volume do sólido é 8/9 a^(3/2).