Joaquim é um jardineiro muito competente e amante de rosas. Ele possui um número de rosas compreendido entre 200 e 400. Juntando-as em grupos de 6,...

Podemos resolver esse problema usando o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 6, 10 e 12, que é 60. Sabemos que, ao juntar as rosas em grupos de 6, 10 ou 12, sempre sobram 4 rosas. Isso significa que o número de rosas é 4 unidades a menos do que um múltiplo de 6, 10 e 12. Assim, podemos escrever a seguinte equação: x ≡ 4 (mod 6) x ≡ 4 (mod 10) x ≡ 4 (mod 12) Usando o MMC, podemos escrever a equação equivalente: x ≡ 4 (mod 60) Sabemos também que, ao juntar as rosas em grupos de 8, não sobra nenhuma rosa. Isso significa que o número de rosas é um múltiplo de 8. Assim, podemos escrever a seguinte equação: x ≡ 0 (mod 8) Agora, podemos resolver o sistema de equações usando o Teorema Chinês do Resto. x ≡ 4 (mod 60) x ≡ 0 (mod 8) A primeira equação pode ser escrita como x = 60k + 4, onde k é um número inteiro. Substituindo na segunda equação, temos: 60k + 4 ≡ 0 (mod 8) 12k + 1 ≡ 0 (mod 8) 4k + 1 ≡ 0 (mod 2) 4k ≡ 1 (mod 2) k ≡ 1 (mod 2) Assim, k pode ser escrito como k = 2m + 1, onde m é um número inteiro. Substituindo na equação x = 60k + 4, temos: x = 60(2m + 1) + 4 x = 120m + 64 Agora, precisamos verificar qual é o número de rosas que está entre 200 e 400 e que satisfaz a equação acima. Testando os valores de m, encontramos que m = 2 é a única solução que satisfaz a condição. Assim, o número de rosas que Joaquim possui é: x = 120m + 64 = 120(2) + 64 = 304 Portanto, a alternativa correta é a letra b) 304 rosas.