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1- AVALIAÇÃO II – CÁLCULOS NUMÉRICOS É um método que, para ser utilizdo, é necessário garantir que o sinal da segunda derivada da função se mantenha constante. Que método é esse? A Método das Secantes. B Método das Cordas. C Método da Bisseção. D Método de Newton. 2 A interpolação é um método que permite definir uma nova função a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos e que represente a função inicial. Com relação à interpolação inversa de uma função f, analise as sentenças a seguir: I- É a operação inversa à interpolação. II- Pode ser aplicada qualquer que seja a função f. III- Só podemos aplicar via interpolação linear. IV- É utilizada quando estamos interessados no valor de x cujo f(x) conhecemos. Assinale a alternativa CORRETA: A As sentenças I e III estão corretas. B As sentenças I e II estão corretas. C Somente a sentença IV está correta. D Somente a sentença I está correta. 3 Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas propriedades é que todo polinômio possui pelo menos uma raiz, podendo ela ser real ou complexa e se o polinômio tem grau n então ele tem no máximo n raízes. E ainda, se todos os coeficientes do polinômio forem reais e ele tiver uma raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também é uma raiz do polinômio. Com base no exposto, considere o polinômio p(x) = x³ - 3x² + x + 5 Determine o valor de a sabendo que x = - 1 e x = a - i são raízes do polinômio. A a = 0 B a = - 2 C a = - 1 D a = 2 4Ao estudar matemática financeira, o professor de Luiz comentou que para determinar o prazo em um financiamento no sistema Price é necessário utilizar um método numérico. O professor de Luiz passou o seguinte problema: suponha que um financiamento no sistema Price no valor de R$ 20.000,00 está aplicado a uma taxa de 2% ao mês e o valor de cada parcela seja de R$ 609,05, determine o prazo desse financiamento. Luiz, lembrando o que seu professor falou em sala, resolveu usar o Método da Bissecção para encontrar o prazo. Luiz fez as seguintes anotações: A 52,5 e 53,75. B 53,75 e 54,375. C 55 e 52,5. D 53,75 e 54,0625. 5 Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de um sistema linear. Quando não se tem mais um sistema linear, e sim um sistema não linear, devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, sendo dois deles o método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear, em geral, é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. Com base no exposto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0,5; 0,1) usando o método da iteração linear: A x = 0,5 e y = 0,1. B x = 0,495 e y = 0,125. C x = 0,492 e y = 0,123. D x = 0,505 e y = 0,125. 6 Os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel são métodos que encontram uma solução aproximada da solução de um sistema linear. Quando não temos mais um sistema linear e sim um sistema não linear devemos fazer uso de outros métodos para encontrar uma solução aproximada para o sistema, dois deles são: o método da interação linear e o método de Newton. O método da interação linear em geral é mais fácil de ser implementado, porém requer mais condições do sistema que o método de Newton. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução (com um arredondamento de 3 casas decimais) do sistema não linear depois de duas iterações (k = 2) e o ponto inicial (0; - 0,5) usando o método da iteração linear: A x = 0,495 e y = 0,124 B x = 0 e y = - 0,5 C x = 0,125 e y = - 0,492 D x = 0,125 e y = - 0,5 7No universo da Matemática, tudo que estudamos tem uma razão e aplicabilidade. Da teoria à prática, os logaritmos são trabalhados em diversas áreas do conhecimento. O trabalho com uma função logarítmica tem como objetivo facilitar os cálculos, bem como ampliar os conhecimentos em assuntos específicos, como: a) na Química, quando o trabalho envolve radioatividade, para determinar o tempo de desintegração de uma substância radioativa é utilizada a fórmula: Q=qo.e^(-r-t). Nesta fórmula, Q representa a massa da substância, qº a massa inicial, r a taxa de redução da radioatividade e a variável t o tempo. Equações com essa tipologia podem ser resolvidas com o auxílio da teoria dos logaritmos; b) no ano de 1935, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram uma escala para quantificar o nível de energia liberada por um sismo. A escala Richter, que também é conhecida por escala de magnitude local, é uma função logarítmica. Assim, é possível quantificar em Joules a quantidade de energia liberada por um movimento tectônico; c) na Medicina, quando é ministrado um tratamento, o paciente recebe o medicamento, que entra na corrente sanguínea, que passa por órgãos como fígado e rins. Neste caso, é possível obter o tempo necessário para que a quantidade desse medicamento presente no corpo do paciente seja menor ou maior que uma determinada quantidade, e para isso é necessário trabalhar com uma equação logarítmica. Neste contexto, trabalhando com uma margem de erro menor ou igual a (0,1), calcule o valor aproximado da função: f(x) = x.log(x+1) - 2, sabendo que a função tem apenas uma raiz real, que está contida no intervalo. A A função tem sua raiz real em 3,2. B A função tem sua raiz real em 3,25. C A função tem sua raiz real em 3,3. D A função tem sua raiz real em 3,5. 8 O método de integração numérica não substitui o método de resolução normal, apenas o complementa. Nesse sentido, quando se usa a integração numérica? A Quando a derivada for uma constante. B Quando a integral não tem intervalos. C Quando a função é definida por meio de uma tabela de pontos. D Quando a função for descontínua. 9 Uma equação não linear é uma equação que contenha termos da forma x², x³, termos com raiz entre outros. Um sistema de equações é dito não linear se pelo menos uma das equações não é linear. Para resolver um sistema não linear, usamos processos interativos. Considere o sistema linear: f(x,y)=0 g(x,y)=0 onde, f ou g são funções não lineares. Com relação aos processos interativos usados para encontrar a solução dos sistemas não lineares, analise as sentenças a seguir: I- Para aplicar o método da Interação Linear, precisamos encontrar as funções F e G (chamadas de funções de interação) que satisfazem F(x,y) = x e G(x,y) = y de tal forma que sejam contínuas e suas derivadas parciais também são contínuas. II- Para aplicar o método de Newton, temos que considerar que f e g sejam contínuas, mas não é necessário que suas derivadas primeiras e segundas sejam também contínuas. III- Para o método de Interação Linear, podemos considerar qualquer ponto inicial (x0, y0), não é preciso estar próximo da solução. IV- Para o método de Newton, temos que considerar o ponto inicial (x0, y0) próximo da solução. Assinale a alternativa CORRETA: A As sentenças II e IV estão corretas. B As sentenças II e III estão corretas. C As sentenças I e III estão corretas. D As sentenças I e IV estão corretas. 10 Consideremos uma função f e um intervalo [a, b] para o qual f é contínua em todos os pontos do intervalo e f(a)·f(b) < 0. Qual o método que consiste em dividir o intervalo [a, b] ao meio sistematicamente até que, para um dado ε > 0, o critério de parada seja satisfeito? Assinale a alternativa CORRETA: A Método da bissecção. B Método da ordem de convergências. C Método da Gauss. D Método simples.
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