(IBMEC-RJ - 2007) O polinômio p(x) = x4 – 5x2 + m (m  R) é divisível por x2 – 9. Então, a soma dos quadrados de todas as raízes de p(x) = 0 é igua...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o fato de que o polinômio p(x) é divisível por x² - 9, que é igual a (x + 3)(x - 3). Assim, podemos escrever: p(x) = (x² - 9)(x² + k) Onde k é um número real a ser determinado. Expandindo a expressão acima, temos: p(x) = x⁴ - 9x² + kx² - 9k p(x) = x⁴ + (k - 9)x² - 9k Comparando com a expressão dada para p(x), temos: k - 9 = -5 -9k = m Resolvendo o sistema acima, encontramos: k = 4 m = -36 Agora, precisamos encontrar as raízes de p(x). Como p(x) é divisível por x² - 9, temos que suas raízes são ±3 e mais duas raízes que podemos encontrar resolvendo x² + 4 = 0. Assim, as quatro raízes são: x₁ = -3 x₂ = 3 x₃ = 2i x₄ = -2i A soma dos quadrados das raízes é: (-3)² + 3² + (2i)² + (-2i)² = 9 + 9 + 4i² + 4i² = 18 - 8 = 10 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 10.