para investigar taxas de variação de funções de duas variavesi em direções especificas podemos empregar o calculo das derivadas direcionais. Suponh...

Para calcular a taxa de variação do potencial elétrico V(1,2) na direção do vetor unitário u = (a,b), onde a e b são as componentes do vetor, podemos utilizar a fórmula da derivada direcional: D_u V(1,2) = ∇V(1,2) · u Onde ∇V(1,2) é o gradiente de V no ponto (1,2), dado por: ∇V(1,2) = ( ∂V/∂x , ∂V/∂y ) = ( -2y , 18y^2 - 2x ) Substituindo (1,2) na expressão acima, temos: ∇V(1,2) = ( -4 , 32 ) O vetor unitário u é dado por: u = (a,b) = ( cosθ , sinθ ) Onde θ é o ângulo que o vetor forma com o eixo x. Como queremos a direção do vetor unitário, podemos normalizá-lo, dividindo-o pelo seu módulo: |u| = √(a^2 + b^2) = √(cos^2θ + sin^2θ) = 1 Portanto, u = ( cosθ , sinθ ) / |u| = ( cosθ , sinθ ). Substituindo as expressões acima na fórmula da derivada direcional, temos: D_u V(1,2) = ∇V(1,2) · u = ( -4 , 32 ) · ( cosθ , sinθ ) = -4cosθ + 32sinθ Assim, a alternativa correta depende da direção do vetor unitário. Se o vetor unitário estiver na direção do eixo x, ou seja, θ = 0, temos: D_u V(1,2) = -4cos0 + 32sin0 = 0 + 0 = 0 Se o vetor unitário estiver na direção do eixo y, ou seja, θ = π/2, temos: D_u V(1,2) = -4cos(π/2) + 32sin(π/2) = 0 + 32 = 32 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 32.