QUESTÃO 3) Considere o seguinte sistema de equações lineares: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 5 2 4 9 4 10 6 2 x x x x x x − + + = −  + − = −  + − = a) ...

a) Resolvendo o sistema pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial, temos: 1 2 3 | 1 2 3 5 | 2 4 10 6 | -1 1 2 3 | 1 0 -1 1 | 0 0 2 -6 | -5 1 2 3 | 1 0 -1 1 | 0 0 0 -4 | -5 Substituindo na última equação, temos x3 = 5/4. Substituindo na segunda equação, temos x2 = -5/4. Substituindo na primeira equação, temos x1 = 3/4. Portanto, a solução do sistema é x1 = 3/4, x2 = -5/4 e x3 = 5/4. b) Para escrever a igualdade LU PA =, precisamos primeiro encontrar a matriz L, a matriz U e a matriz de permutação P. Realizando o mesmo processo de eliminação de Gauss com pivotação parcial, temos: 1 2 3 | 1 2 3 5 | 2 4 10 6 | -1 1 0 0 | 1/4 2 1 0 | -5/4 4 2 -4 | -5/4 Portanto, a matriz L é: 1 0 0 2 1 0 4 2 -4 A matriz U é: 1 2 3 0 -1 1 0 0 -4 E a matriz de permutação P é: 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Assim, temos a igualdade LU PA =: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3 2 1 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 1 4 2 -4 0 0 1 1 0 0 0 0 -4 c) Para resolver o sistema usando o método de decomposição LU, precisamos primeiro encontrar as matrizes L e U. Já as encontramos na letra b). Então, podemos escrever o sistema como LUx = Pb, onde Pb é o vetor obtido a partir da permutação dos termos do vetor b de acordo com a matriz de permutação P. Temos: Pb = 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 -1 Multiplicando LU por x, temos: 1 0 0 3/4 2 1 0 -5/4 4 2 -4 5/4 Multiplicando Pb por b, temos: 0 2 -1 Agora, podemos resolver o sistema LUx = Pb usando substituição progressiva e regressiva: Substituição progressiva: y1 = 0 y2 = 2 y3 = -1 Substituição regressiva: x1 = 3/4 x2 = -5/4 x3 = 5/4 Portanto, a solução do sistema é x1 = 3/4, x2 = -5/4 e x3 = 5/4.