(UF – CE) A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8° termo dessa PA é: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética (PA): \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] onde: - \( S_n \) é a soma dos n primeiros termos, - \( n \) é o número de termos, - \( a_1 \) é o primeiro termo, - \( a_n \) é o n-ésimo termo. Sabemos que a soma dos 15 primeiros termos é 150, então: \[ S_{15} = 150 \] \[ n = 15 \] Substituindo na fórmula: \[ 150 = \frac{15}{2} \times (a_1 + a_{15}) \] Multiplicando ambos os lados por 2: \[ 300 = 15 \times (a_1 + a_{15}) \] Dividindo por 15: \[ 20 = a_1 + a_{15} \] Agora, sabemos que o n-ésimo termo de uma PA pode ser expresso como: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r \] onde \( r \) é a razão da PA. Para o 15º termo: \[ a_{15} = a_1 + 14r \] Substituindo na equação \( 20 = a_1 + a_{15} \): \[ 20 = a_1 + (a_1 + 14r) \] \[ 20 = 2a_1 + 14r \] Agora, temos duas equações: 1. \( 20 = a_1 + a_{15} \) 2. \( 20 = 2a_1 + 14r \) Vamos resolver para encontrar o 8º termo: O 8º termo é dado por: \[ a_8 = a_1 + 7r \] Agora, vamos expressar \( r \) em termos de \( a_1 \) usando a equação \( 20 = 2a_1 + 14r \): \[ 14r = 20 - 2a_1 \] \[ r = \frac{20 - 2a_1}{14} \] Substituindo \( r \) na fórmula do 8º termo: \[ a_8 = a_1 + 7 \left(\frac{20 - 2a_1}{14}\right) \] \[ a_8 = a_1 + \frac{140 - 14a_1}{14} \] \[ a_8 = a_1 + 10 - a_1 \] \[ a_8 = 10 \] Portanto, o 8º termo da PA é 10. A alternativa correta é: a) 10.