12. (GV – 2006 meio de ano) A área da região triangular limitada pelo sistema de inequações a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3

Para resolver esse problema, precisamos encontrar os pontos de interseção das retas e, em seguida, calcular a área do triângulo formado. As retas são: x + y = 5 y = 2x - 2 Substituindo y na primeira equação, temos: x + 2x - 2 = 5 3x = 7 x = 7/3 Substituindo x na segunda equação, temos: y = 2(7/3) - 2 y = 8/3 Portanto, os pontos de interseção são (7/3, 8/3), (5, 0) e (0, 5). Agora, podemos calcular a área do triângulo usando a fórmula: Área = (base x altura) / 2 A base é a distância entre os pontos (7/3, 8/3) e (5, 0), que é: √[(5 - 7/3)² + (0 - 8/3)²] = √[74/9] A altura é a distância entre o ponto (0, 5) e a reta y = 2x - 2. Para encontrar a altura, precisamos encontrar o ponto na reta que tem x = 7/6 (ponto médio da base). Substituindo x na equação da reta, temos: y = 2(7/6) - 2 y = 7/3 - 2 y = 1/3 A altura é a distância entre o ponto (0, 5) e (7/6, 1/3), que é: √[(7/6 - 0)² + (1/3 - 5)²] = √[169/36] Agora, podemos calcular a área: Área = (√[74/9] x √[169/36]) / 2 Área = (√[74 x 169]) / 18 Área = 26/3 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 2,5.