Qual é a área da circunferência inscrita num triângulo ABC cuja a área desse triângulo vale 125 m² e cujas medidas dos lados, em metros, são 7, B e...

Para encontrar a área da circunferência inscrita em um triângulo, é necessário conhecer o semiperímetro do triângulo e o raio da circunferência inscrita. O semiperímetro é dado pela soma dos lados do triângulo dividido por 2, ou seja, (7 + B + 9)/2 = (B + 16)/2. A área do triângulo ABC é dada por 125 m², então podemos usar a fórmula de Heron para encontrar o valor de B: s = (7 + B + 9)/2 = (B + 16)/2 125 = √[s(s-7)(s-B)(s-9)] 125 = √[(B+16)/2 * (B-7)/2 * (B-9)/2 * (16-B)/2] 125 = √[(B+16)(B-7)(B-9)(16-B)/16] 125 = √[(B²-49)(B-16)/16] 125 = √[(B-7)(B+7)(16-B)] 125 = √[(B-7)²(B+7)(16-B)] 125 = (B-7)√[(B-7)(B+7)(16-B)] Para simplificar a equação, podemos notar que (B-7)(16-B) = (B²-23B+112), então: 125 = (B-7)√[(B-7)(B+7)(B²-23B+112)] 125 = (B-7)√[(B-7)(B+7)(B-16)(B-7)] 125 = (B-7)√[(B-7)²(B-16)(B+7)] 125/(B-7) = √[(B-7)²(B-16)(B+7)] (125/(B-7))² = (B-7)²(B-16)(B+7) 15625/(B-7)² = (B-7)²(B-16)(B+7) 15625 = (B-7)⁴(B-16)(B+7) Podemos resolver essa equação usando fatoração e chegamos a B = 5. Agora que conhecemos o valor de B, podemos encontrar o semiperímetro do triângulo: s = (7 + B + 9)/2 = (5 + 7 + 9)/2 = 10 E o raio da circunferência inscrita: r = √[(s-7)(s-5)(s-9)/s] = √[3*5*1/10] = √[3/2] Finalmente, podemos calcular a área da circunferência inscrita: A = πr² = π*(3/2) = 3π/2 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 3πm².