5) Prove o teorema abaixo usando as técnicas de sua preferência: e) “Para todo n, m, k inteiros, se k | n ou k | m, então k | MMC(n, m)”. Resposta:...

A resposta apresentada está correta. Para provar que k | MMC(n, m), é necessário mostrar que k é um divisor comum de n e m, e que é múltiplo do MMC(n, m). Se k | MMC(n, m), então existe um inteiro q tal que MMC(n, m) = k*q. Como MMC(n, m) é o menor múltiplo comum de n e m, então n e m são múltiplos de MMC(n, m). Assim, existem inteiros s e t tais que n = MMC(n, m)*s e m = MMC(n, m)*t. Se k | n, então existe um inteiro r tal que n = k*r. Substituindo n na equação acima, temos MMC(n, m)*s = k*r, o que implica que k é um divisor de n. Da mesma forma, se k | m, então existe um inteiro x tal que m = k*x. Substituindo m na equação acima, temos MMC(n, m)*t = k*x, o que implica que k é um divisor de m. Portanto, k é um divisor comum de n e m. Além disso, k é múltiplo de MMC(n, m), pois MMC(n, m) = k*q. Assim, concluímos que se k | n ou k | m, então k | MMC(n, m).