Sabendo que c é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação x2 + y2 = 2cx. Se o centro dessa circunferência pertenc...

Para encontrar o raio da circunferência, precisamos primeiro encontrar as coordenadas do centro. Sabemos que o centro pertence à reta de equação x + 2y = 3, então podemos substituir x por 3 - 2y na equação da circunferência: (3 - 2y)² + y² = 2c(3 - 2y) Simplificando e colocando em forma padrão, temos: 5y² - 12y + 9 - 4c = 0 Para que o centro pertença à reta x + 2y = 3, a reta perpendicular à essa reta que passa pelo centro deve ter equação -2x + y = k, onde k é uma constante. Como a reta perpendicular passa pelo centro, podemos substituir as coordenadas do centro na equação da reta e encontrar k: -2x + y = k -2(3 - 2y) + y = k -6 + 5y = k Agora podemos substituir k na equação da reta perpendicular e encontrar as coordenadas do centro: -2x + y = -6 + 5y x = 2y - 3 Substituindo x e y na equação da circunferência, temos: x² + y² = 2cx (2y - 3)² + y² = 2c(2y - 3) 5y² - 12cy + 18c - 9 = 0 Agora podemos usar a fórmula do raio da circunferência: r = |c - h| Onde h é a coordenada x do centro. Podemos encontrar h substituindo y na equação da reta perpendicular: -2x + y = -6 + 5y x = 2y - 3 h = 2y - 3 Substituindo h e c na fórmula do raio, temos: r = |c - h| r = |c - (2y - 3)| r = |c - 2y + 3| Agora podemos substituir y na equação da circunferência e encontrar o valor de c em função de y: 5y² - 12cy + 18c - 9 = 0 c = (5y² + 9) / (12y - 18) Substituindo c e y na fórmula do raio, temos: r = |c - 2y + 3| r = |(5y² + 9) / (12y - 18) - 2y + 3| Simplificando, temos: r = |(5y² - 24y + 45) / (12y - 18)| Para encontrar o valor de y que minimiza o raio, podemos derivar a expressão para r em relação a y e igualar a zero: r' = (60y - 216) / (12y - 18)² r' = 0 60y - 216 = 0 y = 3.6 Substituindo y na expressão para r, temos: r = |(5(3.6)² - 24(3.6) + 45) / (12(3.6) - 18)| r = 2 Portanto, a alternativa correta é a letra a) 2.