5 Acafe 2018 Na figura a seguir, a reta (r): 3 4 1 0x y+ − = é secante à circunferência λ que passa pelo ponto P e tem centro no ponto C. As retas...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade de que, se duas cordas são paralelas, então elas interceptam arcos congruentes na circunferência. Como as retas s1, s2 e r são paralelas, então as cordas correspondentes têm o mesmo comprimento. Sabemos que cada corda tem comprimento igual a 8 unidades de comprimento, então podemos escrever: PC' = PC'' = PR = 8 Também sabemos que o ponto P é um dos pontos de interseção entre a reta r e a circunferência λ. Podemos encontrar as coordenadas do ponto P substituindo as equações da reta r na equação da circunferência λ: (x - cx)² + (y - cy)² = r² (3 - cx)² + (4 - cy)² = r² (3 - cx)² + (4 - cy)² = (PC)² (3 - cx)² + (4 - cy)² = 64 Além disso, como a reta r é secante à circunferência λ, então existem dois pontos de interseção entre elas. Podemos encontrar o outro ponto de interseção substituindo a equação da reta r na equação da circunferência λ e resolvendo o sistema de equações: 3x + 4y - c = 0 (x - cx)² + (y - cy)² = r² Substituindo a primeira equação na segunda, temos: (x - cx)² + (y - cy)² = (3x + 4y - c)²/(3² + 4²) Expandindo os termos e simplificando, temos: (x - cx)² + (y - cy)² = (9x² + 16y² + c² - 6cx - 8cy + 9c²)/(3² + 4²) 25x² + 25y² - 30cx - 40cy + 10c² = 0 Substituindo as coordenadas do ponto P na última equação, temos: 25(3 - cx)² + 25(4 - cy)² - 30cx - 40cy + 10c² = 0 25(cx² - 6cx + 9) + 25(cy² - 8cy + 16) - 30cx - 40cy + 10c² = 0 25cx² - 180cx + 25cy² - 320cy + 625 + 10c² = 0 Agora podemos resolver o sistema de equações formado pelas duas últimas equações: 25(cx² - 6cx + 9) + 25(cy² - 8cy + 16) - 30cx - 40cy + 10c² = 0 25cx² - 180cx + 25cy² - 320cy + 625 + 10c² = 0 Isolando c² na primeira equação, temos: c² = (30cx + 40cy - 25(cx² - 6cx + 9) - 25(cy² - 8cy + 16))/10 Substituindo na segunda equação, temos: 25cx² - 180cx + 25cy² - 320cy + 625 + 10[(30cx + 40cy - 25(cx² - 6cx + 9) - 25(cy² - 8cy + 16))/10] = 0 Simplificando, temos: 25cx² - 180cx + 25cy² - 320cy + 625 + 30cx + 40cy - 25(cx² - 6cx + 9) - 25(cy² - 8cy + 16) = 0 -25cx² + 25cy² - 150cx - 280cy + 384 = 0 Agora podemos resolver o sistema formado pelas duas últimas equações e encontrar as coordenadas do ponto C: (3 - cx)² + (4 - cy)² = 64 -25cx² + 25cy² - 150cx - 280cy + 384 = 0 Isolando cy na primeira equação, temos: cy = 4 - √(64 - (3 - cx)²) Substituindo na segunda equação, temos: -25cx² + 25(64 - (3 - cx)²) - 150cx - 280(4 - √(64 - (3 - cx)²)) + 384 = 0 Simplificando, temos: -25cx² + 1600 - 50cx + 25cx² - 280(4 - √(64 - (3 - cx)²)) + 384 = 0 -50cx + 280√(64 - (3 - cx)²) = -2004 cx - 14√(64 - (3 - cx)²) = 40,08 Isolando √(64 - (3 - cx)²), temos: √(64 - (3 - cx)²) = (cx - 40,08)/14 Substituindo na primeira equação, temos: (3 - cx)² + [4 - (cx - 40,08)/14]² = 64 Resolvendo essa equação, encontramos duas soluções para cx: cx = 3,6 ou cx = 6,4 Substituindo cada valor de cx na equação cx - 14√(64 - (3 - cx)²) = 40,08, encontramos os valores correspondentes de cy: cx = 3,6 => cy = 1,6 ou cy = 6,4 cx = 6,4 => cy = -1,6 ou cy = -6,4 Como a reta r é secante à circunferência λ, então o ponto P é um dos pontos de interseção entre elas. Portanto, o ponto C é o outro ponto de interseção entre a circunferência λ e a reta que passa pelos pontos P e R. Podemos encontrar as coordenadas do ponto R substituindo as equações da reta r na equação da circunferência λ e resolvendo o sistema de equações: 3x + 4y - 1 = 0 (x - cx)² + (y - cy)² = r² Substituindo a primeira equação na segunda, temos: (x - cx)² + (y - cy)² = (3x + 4y - 1)²/(3² + 4²) Expandindo os termos e simplificando, temos: (x - cx)² + (y - cy)² = (9x² + 16y² + 1 - 6cx - 8cy + 6x + 8y)/(3² + 4²) 25x² + 25y² - 30cx - 40cy + 10 = 0 Substituindo as coordenadas do ponto P na última equação, temos: 25(3 - cx)² + 25(4 - cy)² - 30cx - 40cy + 10 = 0 25cx² - 180cx + 25cy² - 320cy + 625 + 10 = 0 25cx² - 180cx + 25cy² - 320cy + 635 = 0 Agora podemos resolver o sistema formado pelas duas últimas equações e encontrar as coordenadas do ponto C: (3 - cx)² + (4 - cy)² = 64 25cx² - 180cx + 25cy² - 320cy + 635 = 0 Substituindo cx = 3,6 e cy = 1,6, temos: (3 - 3,6)² + (4 - 1,6)² = 64 25(3,6)² - 180(3,6) + 25(1,6)² - 320(1,6) + 635 = 0 Simplificando, temos: c' = 5 Substituindo cx = 6,4 e cy = -1,6, temos: (3 - 6,4)² + (4 + 1,6)² = 64 25(6,4)² - 180(6,4) + 25(-1,6)² - 320(-1,6) + 635 = 0 Simplificando, temos: c'' = -25 Portanto, a soma c' + c'' é igual a: c' + c'' = 5 - 25 = -20 Portanto, a alternativa correta é a letra b) -20.