6 UPE 2015 Dois espelhos planos, E1 e E2, são posicionados de forma que o maior ângulo entre eles seja igual a θ = 240o. Um objeto pontual está pos...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a lei da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Além disso, podemos utilizar a propriedade de que a distância entre as imagens é igual à distância entre os espelhos. Seja O o objeto pontual, I1 e I2 as imagens formadas pelos espelhos E1 e E2, respectivamente, e M o ponto de encontro das retas que contêm O e I1. Temos que: - O ângulo entre os espelhos é θ = 240°, então o ângulo entre a reta que contém O e a reta que contém M é θ/2 = 120°. - Como O está equidistante dos espelhos, temos que OM é perpendicular aos espelhos e, portanto, é a bissetriz do ângulo entre eles. - A distância entre as imagens é 1,0 m, então II1 = II2 = 0,5 m. - A distância entre os espelhos é igual à distância entre as imagens, então I1M = I2M = 0,5 m. A partir dessas informações, podemos traçar um esquema como o seguinte: ``` I1 I2 | | | | | | | | | | O-----M------M-----O | | | | | | | | | | E1 E2 ``` Note que o triângulo OMI1 é isósceles, pois OM é perpendicular a I1M e I1M = I2M. Portanto, temos que: - O ângulo OMI1 é igual a 120°/2 = 60°. - O ângulo MOI1 é igual a 90° - 60° = 30°. Agora podemos utilizar a lei da reflexão para determinar o ângulo de incidência do raio que vai de O até E1 e o ângulo de reflexão do raio que vai de E1 até I1. Temos que: - O ângulo de incidência é igual ao ângulo entre a reta que contém O e a reta que contém E1, que é igual a 60°. - O ângulo de reflexão é igual ao ângulo entre a reta que contém E1 e a reta que contém I1, que é igual a 60°. Portanto, o raio que vai de E1 até I1 forma um ângulo de 60° com a reta que contém E1. Como I1M = 0,5 m, temos que: - A distância entre O e E1 é igual a d - 0,5 m. - A distância entre I1 e E1 é igual a 0,5 m. Podemos utilizar a tangente do ângulo formado pelo raio que vai de E1 até I1 para determinar a distância entre O e E1: ``` tan(60°) = (d - 0,5) / 0,5 sqrt(3) = 2d - 1 d = (sqrt(3) + 1) / 2 ``` Portanto, a distância d é aproximadamente 1,366 m. A alternativa correta é a letra E.