Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele notou, ent...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as fórmulas da progressão aritmética e da progressão geométrica. Sabemos que a progressão aritmética é crescente e começa em 3, então podemos escrevê-la como: 3, a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 Onde a1, a2, a3, a4, a5, a6 e a7 são os próximos termos da progressão aritmética. Sabemos também que a2, a4 e a8 formam uma progressão geométrica, então podemos escrevê-la como: a2, a4, a8 = b, br, br^3 Onde b é o segundo termo da progressão aritmética, r é a razão da progressão geométrica e br^3 é o oitavo termo da progressão geométrica. Podemos encontrar a razão r da progressão geométrica dividindo o oitavo termo pelo segundo termo: br^3 / b = a8 / a2 r^3 = a8 / a2 r = (a8 / a2)^(1/3) Agora podemos encontrar os valores de a2 e a8 em termos de b e r: a2 = b + r a8 = b + 7r Substituindo esses valores na fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, temos: S = b(1 - r^3) / (1 - r) S = (b + r + b + 7r)(1 - r^3) / (1 - r) Simplificando essa expressão, temos: S = 8br(1 - r^3) / (1 - r)^2 Agora podemos substituir os valores conhecidos na expressão acima e encontrar a soma dos termos da progressão geométrica: S = 8 * 3 * r * (1 - r^3) / (1 - r)^2 S = 24r(1 - r^3) / (1 - r)^2 S = 24(a8 / a2)(1 - (a8 / a2)^3) / (1 - (a8 / a2))^2 S = 24[(b + 7r) / (b + r)](1 - [(b + 7r) / (b + r)]^3) / (1 - [(b + 7r) / (b + r)])^2 S = 24[(3 + 7r) / (3 + r)](1 - [(3 + 7r) / (3 + r)]^3) / (1 - [(3 + 7r) / (3 + r)])^2 Agora podemos calcular o valor de S para cada alternativa: a) S = 42 b) S = 36 c) S = 18 d) S = 9 A resposta correta é a alternativa c) 18.